a) Vì A B = 2 B C AB=2BC suy ra B C = A B 2 = A D BC= 2 AB =AD A B C D ABCD là hình chữ nhật nên A B = D C AB=DC suy ra 1 2 A B = 1 2 D C 2 1 AB= 2 1 DC do đó A I = D K = A D AI=DK=AD. Tứ giác A I K D AIKD có A I AI // D K , A I = D K DK,AI=DK nên A I K D AIKD là hình bình hành. Lại có A D = A I AD=AI nên A I K D AIKD là hình thoi. Mà I A D ^ = 90 ∘ IAD =90 ∘ do đó A I K D AIKD là hình vuông. Chứng minh tương tự cho tứ giác B I K C BIKC b) Vì A I K D AIKD là hình vuông nên D I DI là tia phân giác A D K ^ ADK hay I D K ^ = 45 ∘ IDK =45 ∘ . Tương tự I C D ^ = 45 ∘ ICD =45 ∘ . Δ I D C ΔIDC cân có D I C ^ = 90 ∘ DIC =90 ∘ nên là tam giác vuông cân. c) Vì A I K D , B C K I AIKD,BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên S I = S K = D I 2 SI=SK= 2 DI và I R = R K = I C 2 IR=RK= 2 IC Suy ra I S K R ISKR là hình thoi. Lại có D I C ^ = 90 ∘ DIC =90 ∘ nên I S K R ISKR là hình vuông

a) A B C D ABCD là hình vuông nên A B = B C = C D = D A AB=BC=CD=DA Mà A M = B N = C P = D Q AM=BN=CP=DQ. Trừ theo vế ta được A B − A M = B C − B N = C D − C P = D A − D Q AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ Suy ra M B = N C = P D = Q A MB=NC=PD=QA b) Xét Δ Q A M ΔQAM và Δ N C P ΔNCP có: A ^ = C ^ = 90 ∘ A = C =90 ∘ A Q = N C AQ=NC (chứng minh trên) A M = C P AM=CP (giả thiết) Suy ra Δ Q A M = Δ N C P ΔQAM=ΔNCP (c.g.c) c) Từ Δ Q A M = Δ N C P ΔQAM=ΔNCP suy ra N P = M Q NP=MQ (hai cạnh tương ứng). Chứng minh tương tự câu b ta có Δ Q A M = Δ P D Q ΔQAM=ΔPDQ và Δ Q A M = Δ M B N ΔQAM=ΔMBN. Khi đó ⇒ M Q = P Q , M N = M Q ⇒MQ=PQ,MN=MQ và A M Q ^ = D Q P ^ AMQ = DQP . Mà A M Q ^ + A Q M ^ = 90 ∘ AMQ + AQM =90 ∘ suy ra D Q P ^ + A Q M ^ = 90 ∘ DQP + AQM =90 ∘ . Do đó, M Q P ^ = 90 ∘ MQP =90 ∘ . Tứ giác M N P Q MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có M Q P ^ = 90 ∘ MQP =90 ∘ nên là hình vuông

Bài tập tự luận: Hình vuông Bài 1 loading... Cho x O y ^ = 90 ∘ xOy =90 ∘ và tia phân giác O m Om. Lấy điểm A A trên O m . Om. Kẻ A B , A C AB,AC lần lượt vuông góc với O x , O y . Ox,Oy. Chứng minh O B A C OBAC là hình vuông. Tứ giác O B A C OBAC có ba góc vuông B ^ = C ^ = B O C ^ = 90 ∘ B = C = BOC =90 ∘ Nên O B A C OBAC là hình chữ nhật. Mà A A nằm trên tia phân giác O M OM suy ra A B = A C AB=AC. Khi đó O B A C OBAC là hình vuông. [Sửa] Bài 2 loading... Cho Δ A B C ΔABC vuông cân tại A A. Trên cạnh B C BC lấy hai điểm H , G H,G sao cho B H = H G = G C . BH=HG=GC. Qua H H và G G kẻ các đường thẳng vuông góc với B C BC chúng cắt A B , A C AB,AC lần lượt tại E , F . E,F. a) Chứng minh Δ B H E ΔBHE là tam giác vuông cân. b) Chứng minh tứ giác E F G H EFGH là hình vuông. a) Δ A B C ΔABC vuông cân nên B ^ = C ^ = 45 ∘ . B = C =45 ∘ . Δ B H E ΔBHE vuông tại H H có B E H ^ + B ^ = 90 ∘ BEH + B =90 ∘ Suy ra B E H ^ = 90 ∘ − 45 ∘ = 45 ∘ BEH =90 ∘ −45 ∘ =45 ∘ nên B ^ = B E H ^ = 45 ∘ B = BEH =45 ∘ . Vậy Δ B E H ΔBEH vuông cân tại H . H. b) Chứng minh tương tự câu a ta được Δ C F G ΔCFG vuông cân tại G G nên G F = G C GF=GC và H B = H E HB=HE Mặt khác B H = H G = G C BH=HG=GC suy ra E H = H G = G F EH=HG=GF và E H EH // F G FG (cùng vuông góc với B C ) BC) Tứ giác E F G H EFGH có E H EH // F G , E H = F G FG,EH=FG nên là hình bình hành. Hình bình hành E F G H EFGH có một góc vuông H ^ H nên là hình chữ nhật Hình chữ nhật E F G H EFGH có hai cạnh kề bằng nhau E H = H G EH=HG nên là hình vuông. [Sửa] Bài 3 loading... Cho Δ A B C ΔABC vuông tại A , A, đường trung tuyến A M . AM. Gọi I I là trung điểm của A C AC. Trên tia đối của tia I M IM lấy điểm K K sao cho I K = I M . IK=IM. a) Chứng minh A M C K AMCK là hình thoi. b) Chứng minh A K M B AKMB là hình bình hành. c) Tìm điều kiện của Δ A B C ΔABC để tứ giác A M C K AMCK là hình vuông. Hướng dẫn giải: a) Tứ giác A M C K AMCK có hai đường chéo A C , M K AC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Δ A B C ΔABC vuông tại A A có A M AM là đường trung tuyến nên A M = M C = M B AM=MC=MB. Vậy hình bình hành A M C K AMCK có A M = M C AM=MC nên là hình thoi. b) Vì A M C K AMCK là hình thoi nên A K AK // B M BM và A K = M C = B M AK=MC=BM. Tứ giác A K M B AKMB có A K AK // B M , A K = B M BM,AK=BM nên là hình bình hành. c) Để A M C K AMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay A M ⊥ M C AM⊥MC. Khi đó Δ A B C ΔABC có A M AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại A A. Vậy Δ A B C ΔABC vuông cân tại A A thì A M C K AMCK là hình vuông.

a) Δ A B C ΔABC vuông cân nên B ^ = C ^ = 45 ∘ . B = C =45 ∘ . Δ B H E ΔBHE vuông tại H H có B E H ^ + B ^ = 90 ∘ BEH + B =90 ∘ Suy ra B E H ^ = 90 ∘ − 45 ∘ = 45 ∘ BEH =90 ∘ −45 ∘ =45 ∘ nên B ^ = B E H ^ = 45 ∘ B = BEH =45 ∘ . Vậy Δ B E H ΔBEH vuông cân tại H . H. b) Chứng minh tương tự câu a ta được Δ C F G ΔCFG vuông cân tại G G nên G F = G C GF=GC và H B = H E HB=HE Mặt khác B H = H G = G C BH=HG=GC suy ra E H = H G = G F EH=HG=GF và E H EH // F G FG (cùng vuông góc với B C ) BC) Tứ giác E F G H EFGH có E H EH // F G , E H = F G FG,EH=FG nên là hình bình hành. Hình bình hành E F G H EFGH có một góc vuông H ^ H nên là hình chữ nhật Hình chữ nhật E F G H EFGH có hai cạnh kề bằng nhau E H = H G EH=HG nên là hình vuông.

Tứ giác O B A C OBAC có ba góc vuông B ^ = C ^ = B O C ^ = 90 ∘ B = C = BOC =90 ∘ Nên O B A C OBAC là hình chữ nhật. Mà A A nằm trên tia phân giác O M OM suy ra A B = A C AB=AC. Khi đó O B A C OBAC là hình vuông.

) Ta có: A x ⊥ A C Ax⊥AC và B y By // A C AC Suy ra A x ⊥ B y Ax⊥By ⇒ A M B ^ = 9 0 ∘ ⇒ AMB =90 ∘ . Xét Δ M A Q ΔMAQ và Δ Q B M ΔQBM có M Q A ^ = B M Q ^ MQA = BMQ (so le trong); M Q MQ là cạnh chung; A M Q ^ = B Q M ^ AMQ = BQM ( A x Ax // Q B QB). Suy ra Δ M A Q = Δ Q B M ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g) Suy ra M B Q ^ = M A Q ^ = 9 0 ∘ MBQ = MAQ =90 ∘ (2 góc tương ứng) Xét tứ giác A M B Q AMBQ có: Q A M ^ = A M B ^ = M B Q ^ = 9 0 ∘ QAM = AMB = MBQ =90 ∘ Suy ra tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. b) Do tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. Mà P P là trung điểm AB n e ^ n n e ^ nPQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1) Xét Δ A I B ΔAIB vuông tại I I và có I P IP là đường trung tuyến. Suy ra I P = 1 2 A B IP= 2 1 AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ Q P = I P ⇒ Δ P Q I ⇒QP=IP⇒ΔPQI cân

Xét Δ A B C ΔABC có B M BM là đường trung tuyến ứng với cạnh A C AC mà B M = 1 2 A C BM= 2 1 AC suy ra Δ A B C ΔABC vuông tại B B. Tứ giác A B C D ABCD có A ^ = D ^ = B ^ = 90 ∘ A = D = B =90 ∘ Suy ra tứ giác A B C D ABCD là hình chữ nhật.

Ta có I A = I C IA=IC và I H = I D IH=ID. Suy ra A H C D AHCD là hình bình hành do có hai đường chéo A C AC và D H DH cắt nhau tại trung điểm I I. Mà A H C ^ = 9 0 ∘ AHC =90 ∘ suy ra A H C D AHCD là hình chữ nhật.

) Do A B C D ABCD là hình bình hành nên A D AD // B C BC và A D = B C AD=BC. Do A D AD // B C BC nên A D B ^ = C B D ^ ADB = CBD (so le trong) Xét Δ A D H ΔADH và Δ C B K ΔCBK có: A H D ^ = C K B ^ = 9 0 ∘ AHD = CKB =90 ∘ ; A D = B C AD=BC (chứng minh trên); A D H ^ = C B K ^ ADH = CBK (do A D B ^ = C B D ^ ADB = CBD ). Do đó Δ A D H = Δ C B K Δ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra A H = C K AH=CK (hai cạnh tương ứng). Ta có A H ⊥ D B AH⊥ DB và C K ⊥ D B CK⊥ DB nên A H AH // C K CK. Tứ giác A H C K AHCK có A H AH // C K CK và A H = C K AH=CK nên A H C K AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Do A H C K AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo A C AC và H K HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I I là trung điểm của H K HK (giả thiết) nên I I là trung điểm của A C AC. Do A B C D ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo A C AC và B D BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I I là trung điểm của A C AC nên I I là trung điểm của B D BD, hay I B = I D IB=ID.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC. Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD. Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.