Bài 67. Phân tích thành nhân tử

a)

Phân tích

\(\left(\right. a + b + c \left.\right)^{3} - \left(\right. a + b - c \left.\right)^{3} - \left(\right. b + c - a \left.\right)^{3} - \left(\right. c + a - b \left.\right)^{3} .\)

Đặt

\(x = a + b + c , y = a + b - c , z = b + c - a , t = c + a - b .\)

Ta có

\(x = y + z + t .\)

Sử dụng hằng đẳng thức

\(\left(\right. y + z + t \left.\right)^{3} - y^{3} - z^{3} - t^{3} = 3 \left(\right. y + z \left.\right) \left(\right. z + t \left.\right) \left(\right. t + y \left.\right) ,\)

suy ra

\(= 3 \left(\right. y + z \left.\right) \left(\right. z + t \left.\right) \left(\right. t + y \left.\right) .\)

Mà

\(y + z & = \left(\right. a + b - c \left.\right) + \left(\right. b + c - a \left.\right) = 2 b , \\ z + t & = \left(\right. b + c - a \left.\right) + \left(\right. c + a - b \left.\right) = 2 c , \\ t + y & = \left(\right. c + a - b \left.\right) + \left(\right. a + b - c \left.\right) = 2 a .\)

Do đó

\(= 3 \cdot 2 a \cdot 2 b \cdot 2 c = 24 a b c .\)

Đáp số

\(\boxed{24 a b c .}\)

b)

Phân tích

\(a b c - \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) + \left(\right. a + b + c \left.\right) - 1.\)

Ta có

\(& \left(\right. a - 1 \left.\right) \left(\right. b - 1 \left.\right) \left(\right. c - 1 \left.\right) \\ & = a b c - a b - a c - b c + a + b + c - 1.\)

Đúng bằng biểu thức đã cho.

Vậy

\(\boxed{\left(\right. a - 1 \left.\right) \left(\right. b - 1 \left.\right) \left(\right. c - 1 \left.\right) .}\)

Bài 68

Chứng minh rằng nếu

\(a^{2} \left(\right. b - c \left.\right) + b^{2} \left(\right. c - a \left.\right) + c^{2} \left(\right. a - b \left.\right) = 0\)

thì tồn tại hai số bằng nhau.

Ta có hằng đẳng thức

\(a^{2} \left(\right. b - c \left.\right) + b^{2} \left(\right. c - a \left.\right) + c^{2} \left(\right. a - b \left.\right) = \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a - c \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) .\)

Do giả thiết

\(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a - c \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) = 0.\)

Suy ra

\(a = b \text{ho}ặ\text{c} a = c \text{ho}ặ\text{c} b = c .\)

Vậy luôn tồn tại hai số bằng nhau.

Bài 69

Cho

\(a^{2} + b^{2} = 2 a b .\)

Ta có

\(a^{2} - 2 a b + b^{2} = 0.\)

Hay

\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = 0.\)

Suy ra

\(\boxed{a = b .}\)

Bài 70

Cho

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c , a , b , c > 0.\)

Ta dùng hằng đẳng thức

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \frac{1}{2} \left(\right. a + b + c \left.\right) \left[\right. \left(\right. a - b \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + \left(\right. c - a \left.\right)^{2} \left]\right. .\)

Theo giả thiết

\(\frac{1}{2} \left(\right. a + b + c \left.\right) \left[\right. \left(\right. a - b \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + \left(\right. c - a \left.\right)^{2} \left]\right. = 0.\)

Vì

\(a + b + c > 0 ,\)

nên

\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + \left(\right. c - a \left.\right)^{2} = 0.\)

Tổng các số không âm bằng 0 nên

\(a = b , b = c .\)

Do đó

\(\boxed{a = b = c .}\)

Bài 71

Cho

\(a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = 4 a b c d ,\)

với \(a , b , c , d > 0\).

Theo bất đẳng thức AM-GM

\(\frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}}{4} \geq \sqrt[4]{a^{4} b^{4} c^{4} d^{4}} = a b c d .\)

Theo giả thiết

\(\frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}}{4} = a b c d .\)

Dấu "=" của AM-GM xảy ra khi và chỉ khi

\(a^{4} = b^{4} = c^{4} = d^{4} .\)

Do các số đều dương,

\(\boxed{a = b = c = d .}\)

Bài 72

Cho

\(m = a + b + c .\)

Chứng minh

\(\left(\right. a m + b c \left.\right) \left(\right. b m + a c \left.\right) \left(\right. c m + a b \left.\right) = \left(\right. a + b \left.\right)^{2} \left(\right. b + c \left.\right)^{2} \left(\right. c + a \left.\right)^{2} .\)

Ta có

\(a m + b c & = a \left(\right. a + b + c \left.\right) + b c \\ & = a^{2} + a b + a c + b c \\ & = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + c \left.\right) .\)

Tương tự

\(b m + a c = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right) ,\) \(c m + a b = \left(\right. a + c \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right) .\)

Do đó

\(& \left(\right. a m + b c \left.\right) \left(\right. b m + a c \left.\right) \left(\right. c m + a b \left.\right) \\ & = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + c \left.\right) \cdot \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right) \cdot \left(\right. a + c \left.\right) \left(\right. b + c \left.\right) \\ & = \left(\right. a + b \left.\right)^{2} \left(\right. b + c \left.\right)^{2} \left(\right. c + a \left.\right)^{2} .\)

Đpcm.

Bài 73

Cho

\(a^{2} + b^{2} = 1 , c^{2} + d^{2} = 1 , a c + b d = 0.\)

Chứng minh

\(a b + c d = 0.\)

Ta có

\(\left(\right. a c + b d \left.\right)^{2} = \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right) \left(\right. c^{2} + d^{2} \left.\right) - \left(\right. a d - b c \left.\right)^{2} .\)

Do

\(a c + b d = 0 ,\)

suy ra

\(\left(\right. a d - b c \left.\right)^{2} = 1.\)

Mặt khác,

\(\left(\right. a b + c d \left.\right)^{2} & = \left(\right. a^{2} + b^{2} \left.\right) \left(\right. c^{2} + d^{2} \left.\right) - \left(\right. a d - b c \left.\right)^{2} \\ & = 1 - 1 = 0.\)

Vậy

\(\boxed{a b + c d = 0.}\)

Bài 74

Xét hằng đẳng thức

\(\left(\right. x + 1 \left.\right)^{2} = x^{2} + 2 x + 1.\)

Lần lượt thay

\(x = 1 , 2 , \ldots , n ,\)

ta được

\(2^{2} & = 1^{2} + 2 \cdot 1 + 1 , \\ 3^{2} & = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1 , \\ 4^{2} & = 3^{2} + 2 \cdot 3 + 1 , \\ & \vdots \\ \left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} & = n^{2} + 2 n + 1.\)

Cộng các đẳng thức, các số hạng \(2^{2} , 3^{2} , \ldots , n^{2}\) triệt tiêu, còn lại

\(\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2} - 1 = 2 \left(\right. 1 + 2 + \hdots + n \left.\right) + n .\)

Suy ra

\(2 \left(\right. 1 + 2 + \hdots + n \left.\right) = n^{2} + n .\)

Do đó

\(\boxed{1 + 2 + \hdots + n = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{2} .}\)

ko nha học để vào năm học mik sẽ hiểu nhanh hơn tiếp thu cx nhanh hơn á

hỏi cô hoài nha

cả 2

play togerther

hải phòng cụ thể xã hùng thắng huyện tiên lãng cũ điểm danh có quà

tui hùng thắng

hi

chim cánh cụt

con ngựa