a/

Xét \(\Delta ABC\)

\(AB=AC\left(gt\right)\Rightarrow\Delta ABC\)  cân tại A

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\)

\(AB=AC\left(gt\right);BD=CD\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)

b/

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta AEB\)

\(AF=AE\left(gt\right);AC=AB\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\Rightarrow\Delta AFC=\Delta AEB\left(c.g.c\right)\)

Ta có \(\Delta AFC=\Delta AEB\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AFC}=\widehat{AEB}=90^o\Rightarrow CF\perp AB\)

c/

Xét tg vuông BEC có

\(BD=CD\left(gt\right)\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà \(DE=DK\left(gt\right)\Rightarrow DK=\dfrac{1}{2}BC\)

Trong mp (ABC) gọi P là giao của MN với BC

\(P\in MN;MN\in\left(MNG\right)\Rightarrow P\in\left(MNG\right)\)

\(G\in\left(MNG\right)\)

\(\Rightarrow GP\in\left(MNG\right)\)

Ta có

\(G\in\left(BCD\right)\)

\(P\in BC;BC\in\left(BCD\right)\Rightarrow P\in\left(BCD\right)\)

\(\Rightarrow GP\in\left(BCD\right)\)

Trong mp (BCD) gọi K là giao của GP với CD

\(\Rightarrow K\in CD\)

\(K\in GP;GP\in\left(MNG\right)\left(cmt\right)\Rightarrow K\in\left(MNG\right)\)

=> K là giao của CD với (MNG)

a/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO 

\(OB=OC=R\); OA chung => tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\) => tg ABC cân tại A

Xét tg cân ABC

tg ABO = tg ACO (cmt) \(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow AO\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến)

b/

Xét tg vuông ABO có

\(BH^2=OH.HA\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Ta có 

AO là đường trung tuyến của tg ABC (cmt) => BH=CH

\(\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow BH^2=\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2=OH.HA\)

\(\Rightarrow4OH.HA=BC^2\)

c/

Xét tg vuông ABO có

\(OB^2=R^2=OH.OA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông IDO có

\(OD^2=R^2=OT.OI\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow OH.OA=OT.OI=R^2\)

\(\dfrac{2n-3}{n+2}=\dfrac{2\left(n+2\right)-7}{n+2}=2+\dfrac{7}{n+2}\)

để \(2n-3⋮n+2\) khi

\(\left(n+2\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-9;-3;-1;5\right\}\)

\(8A=8^2+8^3+8^4+...+8^{301}\)

\(\Rightarrow7A=8A-A=8^{301}-8\)

\(\Leftrightarrow8A+8=8^{301}\)

\(\dfrac{n^2-n+3}{n-2}=n+1+\dfrac{5}{n-2}\) (chia đa thức)

để \(\left(n^2-n+3\right)⋮\left(n-2\right)\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-3;1;3;7\right\}\)

a/

2 tam giác ABD và tg BCD có đường cao từ D->AB = đường cao từ B->DC nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABD và tg BCD có chung BD nên

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\) đường cao từ A->BD / đường cao từ C->BD\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABE và tg BCE có chung BE nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\)đường cao từ A->BD / đường cao từ C->BD\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tam giác ABE và tg BCE có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tg ABC và ACD có đường cao từ C->AB = đường cao từ A->DC nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

2 tg ABC và ACD có chung AC nên

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\) đường cao từ B->AC / đường cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tg BCE và tg CDE có chung CE nên

\(\dfrac{S_{BCE}}{S_{CDE}}=\) đường cao từ B->AC / đường cao từ D->AC\(=\dfrac{1}{2}\)

2 tg BCE và tg CDE có chung đường cao từ C->BD nên

\(\dfrac{S_{BCE}}{S_{CDE}}=\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{1}{2}\)

b/

\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BCD}}=\dfrac{1}{2}\) (cmt) 

Mà \(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow S_{ABD}=\dfrac{S_{ABCD}}{3}\)

\(\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

2 tg EAB và tg ABD có chung đường cao từ A->BD nên

\(\dfrac{S_{EAB}}{S_{ABD}}=\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow S_{EAB}=\dfrac{S_{ABD}}{3}=\dfrac{\dfrac{S_{ABCD}}{3}}{3}=\dfrac{S_{ABCD}}{9}\)

\(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\)

Mà \(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ACD}}{S_{ABCD}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow S_{ACD}=\dfrac{2xS_{ABCD}}{3}\)

\(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{1}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{2}{3}\)

2 tg EDC và tg ACD có chung đường cao từ D->AC nên

\(\dfrac{S_{EDC}}{S_{ACD}}=\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow S_{EDC}=\dfrac{2xS_{ACD}}{3}=\dfrac{\dfrac{2}{3}x\dfrac{2}{3}xS_{ABCD}}{3}=\dfrac{4xS_{ABCD}}{9}\)

a/

Ta có

\(AE\perp d\left(gt\right);OC\perp d\left(gt\right);BF\perp d\left(gt\right)\) => AE//OC//BF

\(\Rightarrow\dfrac{CE}{OA}=\dfrac{CF}{OB}\left(Talet\right)\) Mà \(OA=OB\Rightarrow CE=CF\)

Xét (O)

\(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAC}\) ) 

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc nt) 

\(sđ\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}sđcungAC\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ABC}\) 

Xét tg vuông ACH và tg vuông ACE

 \(\widehat{ACH}=\widehat{ACE}\) (cùng \(=\widehat{ABC}\))

AC chung

=> tg ACH = tg ACE (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AH=AE\) (1)

C/m tương tự ta cũng có tg BCH = tg BCF

\(\Rightarrow BH=BF\) (2)

Xét tg vuông ACB

\(CH^2=AH.BH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (3)

Từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow CH^2=AE.BF\)

b/

tg ACH = tg ACE (cmt)\(\Rightarrow CH=CE\)

tg BCH = tg BCF (cmt)\(\Rightarrow CH=CF\)

\(\Rightarrow EF=CE+CF=2CH\)

EF lớn nhất khi CH lớn nhất; CH lớn nhất khi CH = bán kính (O)

\(\Rightarrow H\equiv O\)

Xét tg vuông ACO và tg vuông BCO có

OA=OB; OC chung => tg ACO = tg BCO (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AC=BC\Rightarrow sđcungAC=sđcungBC\)(trong hình tròn 2 dây cung = nhau thì 2 cung chắn tương ứng có số đo bằng nhau)

=> C là điểm giữa của cung AB

\(\Leftrightarrow x\left(y+2\right)+\left(y+2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+2\right)=5\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\y+2=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=5\\y+2=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=-1\\y+2=-5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1=-5\\y+2=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-7\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1-a}{-2}=\dfrac{2-b}{-3}=\dfrac{c-5}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{-2+2a}{4}=\dfrac{2-b}{-3}=\dfrac{3c-15}{15}=\dfrac{-2+2a+2-b+3c-15}{4-3+15}=\)

\(=\dfrac{3c+2a-b-15}{16}=\dfrac{31-15}{16}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1-a}{-2}=1\Rightarrow a=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{2-b}{-3}=1\Rightarrow b=5\)

\(\Rightarrow\dfrac{c-5}{5}=1\Rightarrow c=10\)