a/

Xét tg vuông AOB và tg vuông AOC có

\(OB=OC=R;OA\) chung => tg AOB = tg AOC (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\) => tg ABC cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow OA\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

\(\widehat{BCD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CD\perp BC\)

=> OA//CD (cùng vg với BC)

b/

Xét tg vuông AOB có

\(OB^2=OH.OA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Ta có

\(\dfrac{OB}{BD}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow OB=\dfrac{BD}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2=OH.OA\Rightarrow4OH.OA=BD^2\)

c/

Xét tg vuông AOC có

\(AC^2=AH.AO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) (1)

Xét tg ACN và tg ADC có

\(\widehat{CAD}\) chung

\(sđ\widehat{ACN}=\dfrac{1}{2}sđcungCN\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungCN\) (góc nt đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{ACN}=\widehat{ADC}\)

=> tg ACN đồng dạng với tg ADC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\Rightarrow AC^2=AN.AD\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AN.AD=AH.AO\)

a(b²-1)(c²-1)+b(a²-1)(c²-1)+c(a²-1)(b²-1)=

=(ab²-a)(c²-1)+(a²b-b)(c²-1)+(a²c-c)(b²-1)=

=ab²c²-ab²-ac²+a+a²bc²-a²b-bc²+b+a²b²c-a²c-b²c+c=

=abc(ab+bc+ac)-(ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c)=

=(a+b+c)(ab+bc+ac)-(ab²+ac²+a²b+bc²+a²c+b²c)=

=a²b+abc+a²c+ab²+b²c+abc+abc+bc²+ac²-ab²-ac²-a²b-bc²-a²c-b²c=

=3abc

Ta có

\(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^2c-ab^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]=0\) 

Do \(a\ne b\Rightarrow a-b\ne0\)

\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)=0\) (1)

Ta có

\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)=4024\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+b^2c=4024\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a^2+b^2\right)=4024\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]=4024\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2-2abc=4024\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]-2abc=4024\) (2)

Thay (1) vào (2)

\(\Rightarrow-2abc=4024\Leftrightarrow-abc=2012\)

(1)\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)=-ab\) Nhân cả 2 vế với c

\(\Rightarrow c^2\left(a+b\right)=-abc\)

\(\Rightarrow M=c^2\left(a+b\right)=-abc=2012\)

a/

Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có

MA=MB (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ....)

MO chung

=> tg AMO = tg BMO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\)

Xét tg AMB có

MA=MB (cmt) => tg AMB cân tại M

\(\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow OM\perp AB\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

b/

Xét tg vuong OIM và tg vuông OHN có

\(\widehat{MON}\) chung

=> tg OIM đồng dạng với tg OHN

\(\Rightarrow\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{ON}\Rightarrow OI.ON=OH.OM\)

tg OIM đồng dạng với tg OHN (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ONA}=\widehat{OMI}\)

Ta có A và I cùng nhìn OM dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\)

=> AOIM là tứ giác nt

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{OMI}\) (góc nt cùng chắn cung OI)

\(\Rightarrow\widehat{OAI}=\widehat{ONA}=\widehat{OMI}\) 

c/

a/

Xét tg ABM

\(\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{BE}{MB}\) (Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{AE.MB}{AM}=\dfrac{5.4}{6}=\dfrac{20}{6}cm\)

\(\Rightarrow AB=AE+BE=5+\dfrac{20}{6}\)

b/

Ta có

\(\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{BE}{MB}\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AM}{MB}\)

Xét tg AMC có

\(\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{CF}{MC}\) (T/c đường phân giác)

\(\Rightarrow\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{AM}{MC}\)

Mà \(MB=MC\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AM}{MC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AF}{CF}\) => EF//BC (Talet đảo trong tg)

c/

EF//BC => EF//IK

\(EI\perp BC\left(gt\right);FK\perp BC\left(gt\right)\) => EI//FK

=> EFKI là hbh (Tứ giác có 2 cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(EI\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{EIK}=90^o\)

=> EFKI là hình CN => EK = IF (trong HCN 2 đường chéo = nhau)

a/

\(A=x^2-4x+4+2=\)

\(=\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow A_{min}=2\)

b/

\(B=3\left(x^2+4x+4\right)-19=3\left(x+2\right)^2-19\ge-19\)

\(\Rightarrow B_{min}=-19\)

c/

\(C=\left(x^2+y^2+1+2xy-2y-2x\right)+\left(x^2+4x+4\right)+2023=\)

\(=\left(x+y-1\right)^2+\left(x+2\right)^2+2023\ge2023\)

\(\Rightarrow C_{min}=2023\)

\(A=\left[\left(x+1\right)\left(x+4\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]+1=\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)+1=\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)\left[\left(x^2+5x+4\right)+2\right]+1=\)

\(=\left(x^2+5x+4\right)^2+2\left(x^2+5x+4\right)+1=\)

\(=\left[\left(x^2+5x+4\right)+1\right]^2\)

Khi thêm như thế hiệu 2 số đã giảm là

10-6,5=3,5

Hiệu 2 số là

18,35+3,5=21,85

\(\dfrac{m+5}{m}=1+\dfrac{5}{m}\)

\(\left(m+5\right)⋮m\) khi

\(m=\left\{-5,-1;1;5\right\}\)

30 phut = 0,5 giờ

Khi 2 xe đi ngược chiều gặp nhau thì tổng quãng đường 2 xe đi được là quãng đường AB = 35 km

Khi 2 xe đi cùng chiều gặp nhau thì

Tổng quãng đường 2 xe đi được là

1,75:0,5x35=122,5 km

Và hiệu giữa quãng đường xe ô tô đi được với quãng đường xe máy đi được là quãng đường AB = 35 km

Khi đi cùng chiều quãng đường xe máy đi được từ B đến chỗ gặp nhau là

(122,5-35):2=43,75 km

Vận tốc xe máy là

43,75:1,75=25 km/h

Khi đi cùng chiều quãng đường ô tô đi được từ A đến chỗ gặp nhau là

43,75+35=78,75 km

Vân tốc ô tô là

78,75:1,75=45 km/h