Khung ảnh có phần trong là hình chữ nhật: 17 \times 25 cm

Viền xung quanh rộng x cm → kích thước cả khung: (17 + 2x)(25 + 2x)

Diện tích toàn khung:

S(x) = (17 + 2x)(25 + 2x) = 513

Giải:

(17 + 2x)(25 + 2x) = 513 \Rightarrow 425 + 34x + 50x + 4x^2 = 513 \Rightarrow 4x^2 + 84x + 425 = 513 \Rightarrow 4x^2 + 84x - 88 = 0 \Rightarrow x^2 + 21x - 22 = 0

\Delta = 441 + 88 = 529 \Rightarrow x = \frac{-21 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-21 \pm 23}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ (chọn)} \quad \text{hoặc } x = -22 \text{ (loại)}

Cho:

• Đường tròn (C): (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36
• Đường thẳng \Delta: 3x + 4y + 7 = 0
• Đường thẳng \Delta_1: 5x - 12y + 7 = 0

a) Tính \cos\alpha

Gọi \alpha là góc giữa hai đường thẳng →

Dạng vector pháp tuyến:

• \vec{n}_\Delta = (3, 4)
• \vec{n}_{\Delta_1} = (5, -12)

Công thức:

\cos\alpha = \frac{|3 \cdot 5 + 4 \cdot (-12)|}{\sqrt{3^2 + 4^2} \cdot \sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|15 - 48|}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{169}} = \frac{33}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \Delta và tiếp xúc với (C)

Đường thẳng \Delta: 3x + 4y + 7 = 0 có vector pháp tuyến (3,4)

→ Vector chỉ phương của đường vuông góc: (3,4)

→ Đường vuông góc với \Delta có dạng:

y = -\frac{3}{4}x + c \quad \text{(hệ số góc bằng -3/4)}

Hoặc viết dưới dạng tổng quát: 4x - 3y + d = 0

Tiếp xúc với đường tròn tâm I(3, -2), bán kính R = 6

→ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng bằng 6:

\left|4 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) + d \right| / \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 6 \Rightarrow |12 + 6 + d| = 6 \cdot \sqrt{25} = 30 \Rightarrow |18 + d| = 30 \Rightarrow d = 12 \text{ hoặc } d = -48

→ Hai phương trình thỏa mãn:

• 4x - 3y + 12 = 0
• 4x - 3y - 48 = 0

a) Tìm m để f(x) = x^2 + (m - 1)x + m + 5 dương với mọi x \in \mathbb{R}

Để tam thức luôn dương với mọi x \in \mathbb{R}, ta cần:

• Hệ số a = 1 > 0
• \Delta < 0 (phương trình không có nghiệm thực)

Ta tính:

\Delta = (m - 1)^2 - 4(1)(m + 5) = m^2 - 2m + 1 - 4m - 20 = m^2 - 6m - 19

Điều kiện:

m^2 - 6m - 19 < 0

Giải bất phương trình:

m^2 - 6m - 19 < 0 \Rightarrow \text{Nghiệm của phương trình } m^2 - 6m - 19 = 0

\Delta = 36 + 76 = 112 \Rightarrow m = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{7}

Vậy:

m \in (3 - 2\sqrt{7};\ 3 + 2\sqrt{7})

b) Giải phương trình:

2x^2 - 8x + 4 = x - 2

Chuyển vế:

2x^2 - 8x + 4 - x + 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 9x + 6 = 0

Giải phương trình:

\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 81 - 48 = 33 \Rightarrow x = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}