a, chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành:

vì ABCD là hình bình hành nên các cạnh đối song song và bằng nhau: AD//BC và AD=BC

ta có E là trung điểm của AD

nên ED=1/2AD

F là trung điểm của BC

nên BF=1/2BC

mà AD=BC

nên suy ả ED=BF

do E thuộc AD và F thuộc BC nên từ AD//BC

xét tam giác ABC có:

N là trung điểm của AB ( do CN là đường trung tuyến )

M là trung điểm của AC ( do BM là đường trung tuyến )

suy ra NM là đường trung bình của ABC

do đó: NM//BC và NM=1/2 (1)

xét tam giác GBC có:

P là trung điểm của GB ( giả thuyết )

Q là trung điểm của GC ( giả thuyết )

suy ra PQ là đường trung bình của tam giác GBC

do đó: PQ//BC và PQ=1/2BC (2)

từ (1) và (2) suy ra:

NM//PQ ( vì cùng song song với BC )

NM=PQ ( vì cùng bằng 1/2BC)

tứ giác PQMN có một cặp cạnh đối song song vừa bằng nhau (NM//PQ và NM=PQ) nên PQMN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

a, chứng minh tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành :

-Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành :

vì ABCD là hình bình hành

nên AB//CD và AB=CD

ta có B là trung điểm của CF

nên CF=2CD

mà AB=CD

nên suy ra AE=CF

vì E nằm trên đường thẳng AB và F nằm trên đường thẳng CD nên AE//CF

Tứ giác AEFD có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ( AE//DF) và AE=DF, vì DF chính là cạnh đối ứng kéo dài bằng AE ) nên AEFD là hình bình hành

-Chứng minh tứ giác ABFC là hình bình hành :

nên AB//CD và AB=CD

đề bài cho D là trung điểm của CF nên CD=DF

suy ra CF=CD

do đó, AB=CF ( vì cùng bằng CD )

vì F nằm trên đường thẳng CD

nên AB//CF

tứ giác ABFC có một cặp cạnh đối song song vừa bằng nhau ( AB//CF và AB=CF ) nên ABFC là hình bình hành

b, chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau:

gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC

vì tứ giác ABFC là hình bình hành ( chứng minh ở câu a ), nên hai đường chéo AF và BC phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, I cũng là trung điểm của AF

vì tứ giác AEFD là hình hình hành ( chứng minh ở câu a ), xét hình bình hành tổng thể liên kết, hoặc xét hình bình hành BEDC ( do BE//CD và BE =CD=AB), đường chéo DE=CD=AB), đường chéo DE cũng sẽ cắt BC tại trung điểm I. Do đó, I cũng là trung điểm của DE

vậy trung điểm của ba đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau tại điểm I

1. Chứng minh tam giác OAM=tam giác OCN:

vì ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC

suy ra OA=OC

do AB//CD (tính chất hình bình hành) nên góc MAO=góc NCO (hai góc so le trong)

xét tam giác OAM và tam giác OCN có :

góc MAO= góc NCO (chứng minh trên)

OA=OC (chứng minh trên) góc AOM = góc CON (hai góc đối đỉnh)

suy ra tam giác OAM = tam giác OCN (góc.cạnh.góc) (ĐPCM)

2. chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành :

từ tam giác OAM = tam giác OCN ( chứng minh trên )

suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau :

OM=ON (nên O là trung điểm của MN)

mặt khác, vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD

nên O cũng là trung điểm của BD

suy ra OB=OD

xét tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường

do đó, tứ giác MBND là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết )

a,chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành

vì ABCD là hình bình hành

nên AB//CD và AB=CD

ta có E là trung điểm của AB

nên AE=1/2AB

F là trung điểm của CD

nên CF=1/2CD

mà AB=CD

nên suy ra AE=CF

vì E thuộc AB và F thuộc CD

nên AE//CF

vì E thuộc AB và F thuộc CD

nên AE//CF

tứ giác AECF có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau (AE//CF và AE=CF) nên AECF là hình bình hành

Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành

ta có AE=1/2AB và DF=1/2CD (do F là trung điểm của CD)

mà AB=CD nên AE=DF

do AB//CD nên AE//DF

Tứ giác AEFD có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau ( AE//DF và AE=DF) nên AEFD là hình bình hành

b, Chứng minh EF=AD:

theo câu a, tứ giác AEFD là hình bình hành

suy ra các cạnh đối của nó bằng nhau EF=AD(ĐPCM)

Chứng minh AF=EC:

theo câu a, tứ giác AECF là hình bình hành

suy ra các đường chéo hoặc cạnh đối của nó bằng nhau: AF=EC (ĐPCM)

Câu 1: nhân vật chính trong chuyện là nhân vật con Kiến