A=1⋅21 +3⋅41 +5⋅61 +⋯+99⋅1001

Mục tiêu:

Chứng minh 

A

<

1

A<1.

Bước 1: Biến đổi từng hạng tử trong tổng

Xét một hạng tử tổng quát:

1

n

(

n

+

1

)

=

1

n

−

1

n

+

1

n(n+1)1 =n1 −n+11

Kiểm tra với ví dụ cụ thể:

1

n

−

1

n

+

1

=

(

n

+

1

)

−

n

n

(

n

+

1

)

=

1

n

(

n

+

1

)

n1 −n+11 =n(n+1)(n+1)−n =n(n+1)1

Bước 2: Áp dụng vào biểu thức 

A

A

Ở đây, các hạng tử là 

1

1

⋅

2

,

1

3

⋅

4

,

1

5

⋅

6

,

…

,

1

99

⋅

100

1⋅21 ,3⋅41 ,5⋅61 ,…,99⋅1001 , nghĩa là các 

n

n đều là số lẻ từ 1 đến 99.

Với mỗi hạng tử, viết lại:

1

k

(

k

+

1

)

=

1

k

−

1

k

+

1

k(k+1)1 =k1 −k+11

với 

k

k là số lẻ: 

1

,

3

,

5

,

…

,

99

1,3,5,…,99.

Bước 3: Viết tổng thành dạng tổng sai phân

A

=

∑

(

1

k

−

1

k

+

1

)

A=k=1,3,5,…,99 ∑ (k1 −k+11 )

Bước 4: Tính tổng từng cặp hạng tử

Viết ra một vài hạng tử đầu để thấy rõ:

A

=

(

1

1

−

1

2

)

+

(

1

3

−

1

4

)

+

(

1

5

−

1

6

)

+

⋯

+

(

1

99

−

1

100

)

A=(11 −21 )+(31 −41 )+(51 −61 )+⋯+(991 −1001 )

Bước 5: Nhận xét về tổng

A

=

(

1

+

1

3

+

1

5

+

⋯

+

1

99

)

−

(

1

2

+

1

4

+

1

6

+

⋯

+

1

100

)

A=(1+31 +51 +⋯+991 )−(21 +41 +61 +⋯+1001 )

Gọi:

S

lẻ

=

1

+

1

3

+

1

5

+

⋯

+

1

99

Slẻ =1+31 +51 +⋯+991

S

ch

a

˘

˜

n

=

1

2

+

1

4

+

1

6

+

⋯

+

1

100

Scha˘˜n =21 +41 +61 +⋯+1001

Bước 6: So sánh 

S

lẻ

Slẻ  và 

S

ch

a

˘

˜

n

Scha˘˜n

Ta muốn chứng minh:

A

=

S

lẻ

−

S

ch

a

˘

˜

n

<

1

A=Slẻ −Scha˘˜n <1

hay

S

lẻ

<

1

+

S

ch

a

˘

˜

n

Slẻ <1+Scha˘˜n

Bước 7: Dùng tính chất của hàm 

1

n

n1

Tổng 

S

lẻ

Slẻ  có ít hạng tử hơn 

S

ch

a

˘

˜

n

Scha˘˜n  và các số lẻ đều lớn hơn số chẵn kề bên (ví dụ 3 > 2, 5 > 4), nên giá trị từng hạng tử lẻ nhỏ hơn hạng tử chẵn liền kề.

Cụ thể, từ 

1

3

<

1

2

31 <21 , 

1

5

<

1

4

51 <41 , …
Vậy:

S

lẻ

−

S

ch

a

˘

˜

n

<

1

Slẻ −Scha˘˜n <1

Bước 8: Kết luận

Do các hạng tử 

1

k

−

1

k

+

1

k1 −k+11  đều dương và tổng các phần âm lớn hơn một chút, nên tổng 

A

A nhỏ hơn 1.

Tóm lại:

A

=

∑

k

=

1

,

3

,

5

,

…

,

99

1

k

(

k

+

1

)

<

1

A=k=1,3,5,…,99∑ k(k+1)1 <1

A=1⋅21 +3⋅41 +5⋅61 +⋯+99⋅1001

Mục tiêu:

Chứng minh 

A

<

1

A<1.

Bước 1: Biến đổi từng hạng tử trong tổng

Xét một hạng tử tổng quát:

1

n

(

n

+

1

)

=

1

n

−

1

n

+

1

n(n+1)1 =n1 −n+11

Kiểm tra với ví dụ cụ thể:

1

n

−

1

n

+

1

=

(

n

+

1

)

−

n

n

(

n

+

1

)

=

1

n

(

n

+

1

)

n1 −n+11 =n(n+1)(n+1)−n =n(n+1)1

Bước 2: Áp dụng vào biểu thức 

A

A

Ở đây, các hạng tử là 

1

1

⋅

2

,

1

3

⋅

4

,

1

5

⋅

6

,

…

,

1

99

⋅

100

1⋅21 ,3⋅41 ,5⋅61 ,…,99⋅1001 , nghĩa là các 

n

n đều là số lẻ từ 1 đến 99.

Với mỗi hạng tử, viết lại:

1

k

(

k

+

1

)

=

1

k

−

1

k

+

1

k(k+1)1 =k1 −k+11

với 

k

k là số lẻ: 

1

,

3

,

5

,

…

,

99

1,3,5,…,99.

Bước 3: Viết tổng thành dạng tổng sai phân

A

=

∑

(

1

k

−

1

k

+

1

)

A=k=1,3,5,…,99 ∑ (k1 −k+11 )

Bước 4: Tính tổng từng cặp hạng tử

Viết ra một vài hạng tử đầu để thấy rõ:

A

=

(

1

1

−

1

2

)

+

(

1

3

−

1

4

)

+

(

1

5

−

1

6

)

+

⋯

+

(

1

99

−

1

100

)

A=(11 −21 )+(31 −41 )+(51 −61 )+⋯+(991 −1001 )

Bước 5: Nhận xét về tổng

A

=

(

1

+

1

3

+

1

5

+

⋯

+

1

99

)

−

(

1

2

+

1

4

+

1

6

+

⋯

+

1

100

)

A=(1+31 +51 +⋯+991 )−(21 +41 +61 +⋯+1001 )

Gọi:

S

lẻ

=

1

+

1

3

+

1

5

+

⋯

+

1

99

Slẻ =1+31 +51 +⋯+991

S

ch

a

˘

˜

n

=

1

2

+

1

4

+

1

6

+

⋯

+

1

100

Scha˘˜n =21 +41 +61 +⋯+1001

Bước 6: So sánh 

S

lẻ

Slẻ  và 

S

ch

a

˘

˜

n

Scha˘˜n

Ta muốn chứng minh:

A

=

S

lẻ

−

S

ch

a

˘

˜

n

<

1

A=Slẻ −Scha˘˜n <1

hay

S

lẻ

<

1

+

S

ch

a

˘

˜

n

Slẻ <1+Scha˘˜n

Bước 7: Dùng tính chất của hàm 

1

n

n1

Tổng 

S

lẻ

Slẻ  có ít hạng tử hơn 

S

ch

a

˘

˜

n

Scha˘˜n  và các số lẻ đều lớn hơn số chẵn kề bên (ví dụ 3 > 2, 5 > 4), nên giá trị từng hạng tử lẻ nhỏ hơn hạng tử chẵn liền kề.

Cụ thể, từ 

1

3

<

1

2

31 <21 , 

1

5

<

1

4

51 <41 , …
Vậy:

S

lẻ

−

S

ch

a

˘

˜

n

<

1

Slẻ −Scha˘˜n <1

Bước 8: Kết luận

Do các hạng tử 

1

k

−

1

k

+

1

k1 −k+11  đều dương và tổng các phần âm lớn hơn một chút, nên tổng 

A

A nhỏ hơn 1.

Tóm lại:

A

=

∑

k

=

1

,

3

,

5

,

…

,

99

1

k

(

k

+

1

)

<

1

A=k=1,3,5,…,99∑ k(k+1)1 <1

Bước 1: Tính tổng số sách đọc trong 2 ngày đầu

Ng

a

ˋ

y 1 + Ng

a

ˋ

y 2

=

1

6

+

1

4

Ngaˋy 1 + Ngaˋy 2=61 +41

Tìm mẫu chung của 

6

6 và 

4

4 là 

12

12, ta có:

1

6

=

2

12

,

1

4

=

3

12

61 =122 ,41 =123

Cộng:

2

12

+

3

12

=

5

12

122 +123 =125

Bước 2: Tính tổng số sách đọc trong 2 ngày sau (ngày 3 và ngày 4)

Ngày 3 đọc: 

1

5

51
Ngày 4 đọc: còn lại 

⇒

1

−

(

1

6

+

1

4

+

1

5

)

⇒1−(61 +41 +51 )

Tính tổng ngày 1, 2, 3 trước:
Tìm mẫu chung của 

6

,

4

,

5

6,4,5 là 60:

1

6

=

10

60

,

1

4

=

15

60

,

1

5

=

12

60

61 =6010 ,41 =6015 ,51 =6012

Cộng:

10

60

+

15

60

+

12

60

=

37

60

6010 +6015 +6012 =6037

Vậy ngày 4 đọc:

1

−

37

60

=

23

60

1−6037 =6023

Tổng ngày 3 và ngày 4:

1

5

+

23

60

=

12

60

+

23

60

=

35

60

=

7

12

51 +6023 =6012 +6023 =6035 =127

Bước 3: So sánh số sách đọc 2 ngày đầu và 2 ngày sau

• 2 ngày đầu: 5
  12
  
  
  
  125 
• 2 ngày sau: 7
  12
  
  
  
  127 

Rõ ràng:

5

12

<

7

12

125 <127

Hai ngày đầu đọc ít hơn hai ngày sau.

Bước 4: Tính phân số chỉ số chênh lệch

Ch

e

ˆ

nh lệch

=

7

12

−

5

12

=

2

12

=

1

6

Cheˆnh lệch=127 −125 =122 =61

Kết luận:

• Hai ngày đầu Bình đọc ít hơn hai ngày sau.
• Phân số chỉ số chênh lệch là:

1

6

61

Thể tích nước dâng (cũng chính là thể tích của tảng đá) được tính:

V

=

110

×

60

×

5

=

33,000

c

m

3

V=110×60×5=33,000cm3

Đổi đơn vị:

33,000

c

m

3

=

33

l

ı

ˊ

t

=

0,033

m

3

33,000cm3=33lıˊt=0,033m3

✅ Kết quả cuối cùng:

V

tảng đ

a

ˊ

=

33

000

c

m

3

=

33

l

ı

ˊ

t

=

0,033

m

3

Vtảng đaˊ =33000cm3=33lıˊt=0,033m3

Tức là tảng đá chiếm thể tích khoảng 33 lít nước.

Bước 1: Nhận dạng quy luật

Ta có tổng:

1

2

+

2

2

+

3

2

+

⋯

+

10

2

=

385

12+22+32+⋯+102=385

Bài toán yêu cầu tính:

A

=

3

2

+

6

2

+

9

2

+

⋯

+

30

2

A=32+62+92+⋯+302

Nhìn kỹ, dãy này là các bội số của 3:

3

,

6

,

9

,

…

,

30

=

3

⋅

(

1

,

2

,

3

,

…

,

10

)

3,6,9,…,30=3⋅(1,2,3,…,10)

Bước 2: Đưa về dạng bình phương của dãy 1 đến 10

3

2

+

6

2

+

9

2

+

⋯

+

30

2

=

(

3

⋅

1

)

2

+

(

3

⋅

2

)

2

+

⋯

+

(

3

⋅

10

)

2

32+62+92+⋯+302=(3⋅1)2+(3⋅2)2+⋯+(3⋅10)2

=

3

2

⋅

(

1

2

+

2

2

+

3

2

+

⋯

+

10

2

)

=32⋅(12+22+32+⋯+102)

Bước 3: Thay tổng đã biết

Ta biết:

1

2

+

2

2

+

⋯

+

10

2

=

385

12+22+⋯+102=385

Vậy:

A

=

3

2

⋅

385

=

9

⋅

385

A=32⋅385=9⋅385

Bước 4: Nhân ra kết quả

9

⋅

385

=

3465

9⋅385=3465

✅ Kết luận

A

=

3465

A=3465

Bước 1: Tính tổng tiền trước khi giảm giá

3

×

120

000

=

360

000

 đ

o

ˆ

ˋ

ng

3×120000=360000 đoˆˋng

Bước 2: Tính số tiền được giảm

Giảm 10% nghĩa là giảm:

10

%

×

360

000

=

0,1

×

360

000

=

36

000

 đ

o

ˆ

ˋ

ng

10%×360000=0,1×360000=36000 đoˆˋng

Bước 3: Tính số tiền phải trả sau khi giảm

360

000

−

36

000

=

324

000

 đ

o

ˆ

ˋ

ng

360000−36000=324000 đoˆˋng

Bước 4: Tính tiền được trả lại

350

000

−

324

000

=

26

000

 đ

o

ˆ

ˋ

ng

350000−324000=26000 đoˆˋng

✅ Kết quả cuối cùng:

Bạn Lan được trả lại 26 000 đ

o

ˆ

ˋ

ng.

Bạn Lan được trả lại 26 000 đoˆˋng.