Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng AD và CB. Xét ∆TCD có:

ˆDTC+ˆTDC+ˆTCD=180° Suy ra ˆDTC=180°−(ˆTDC+ˆTCD)=180°−90°=90° nên AD ⊥ BC. Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BD nên MN là đường trung bình của ∆ABD, do đó MN // AD. Tương tự, ta có MQ là đường trung bình của ∆ABC nên MQ // BC. Mặt khác AD ⊥ BC, suy ra MN ⊥ MQ. Chứng minh tương tự ta cũng có MN ⊥ NP, NP ⊥ PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông). Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn có tâm O là giao điểm của hai đường chéo MP và NQ.

Vì ΔABC đều có 3 đường trung tuyến AM , BN , CP , CB đường H là đường cao của Δ ABC Xét ΔBNC vuông tại N có trung tuyến NM ⇒ NM=1/2 BC ( trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền ) ⇒ MN = MB = MC = 1/2 BC MP = MB =MC = 1/2 BC ⇒ Bốn điểm B , P , N , C cùng thuộc một điểm và đường kính bằng BC/2=a/2

Ta có: góc AEM=90 độ nên E nằm trên đường tròn đường kính AM(1) Ta có: góc AHM=90 độ nên H nằm trên đường tròn đường kính AM(2) Ta có: góc ADM=90 độ nên D nằm trên đường tròn đường kính AM(3) Từ (1), (2) và (3) suy ra A,D,M,H,E cùng nằm trên 1 đường tròn

a) Vì d là một đường kính của đường tròn và B đối xứng với A qua d nên từ A ∈ (O) suy ra AB ⊥ d. Lại có O là tâm của đường tròn và C, D lần lượt là điểm đối xứng với A, B qua O nên từ A, B ∈ (O) suy ra C và D cũng thuộc đường tròn (O). Vậy ba điểm B, C và D thuộc đường tròn (O). b) Vì C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC. Vì D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD và O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành. Lại có, AC = BD (cùng bằng đường kính của (O)). Do đó, hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. c) Vì B là điểm đối xứng với A qua d nên d là đường trung trực của AB. Hình chữ nhật ABCD có AB // CD nên d cũng là đường trung trực của CD. Do đó C và D đối xứng với nhau qua d.

a) Do ABCD là hình vuông nên AC = BD (hai đường chéo bằng nhau), AE = BE = CE = DE (nửa đường chéo). Do đó A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm E. Hai đường chéo đi qua E nên AC, BD là hai trục đối xứng của đường tròn (E).

b) Do ABC là tam giác vuông tại B, có AB = BC = 3 cm nên theo định lí Pythagore, ta được:

AC^2=AB^2 + BC^2=3^2 + 3^2=18

AC = √18=3√2 (cm)

Bán kính (E) là 3√2/2

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD,DA của hình thoi ABCD

Gọi Ở là giao điểm của AC,BD

Ta có AC vuông góc BD

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

OM=1/2AB

ON=1/2BC

OP=1/2CD

OQ=1/2AD

Mà AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ

Hay M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn

Gọi O là trung điểm của BC. Ta có: BD là đường cao nên BD ⊥ AC, hay tam giác BDC vuông tại D. Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

OD = OB = OC = 1/2 BC (1)

Tương tự, ta có: OE = OB = OC = 1/2 BC (2) và OF = OB = OC = 1/2 BC (3)

Do đó, năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O; R) với R =1/2 BC.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có: OA = OB = OC = OD = 1/2 AC = 1/2 BD

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O;1/2 AC)

Xét tam giác BCB' vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền BC

Do đó B'O=1/2 BC

O là trung điểm BC nên

OB=OC=1/2 BC

Do đó B'O=OB=OC=1/2 BC

Chứng minh tương tự với tam giác BCC' vuông tại C' có

C'O=OB=OC=1/2 BC

Suy ra: B'O=C'O=OB=OC=1/2 BC

Hay đường tròn tâm O bán kính OB' đi qua B,C,C'

Gọi M là trung điểm của AC Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên: BM = (1/2).AC (tính chất tam giác vuông) Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên: DM = (1/2).AC (tính chất tam giác vuông) Suy ra: MA = MB = MC = MD

Hay A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn