Gọi cạnh hình vuông \(A B C D\) là \(a\).

• \(M\) là trung điểm \(B C\) nên:

\(B M = M C = \frac{a}{2} .\)

• \(O\) là giao điểm hai đường chéo nên \(O D = \frac{A C}{2}\).
• \(N\) là trung điểm \(O D\) nên:

\(O N = N D = \frac{O D}{2} .\)

Ta có trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau:

\(A C = B D .\)

Mà \(O\) là trung điểm của \(B D\), nên:

\(O D = \frac{B D}{2} = \frac{A C}{2} .\)

Do đó:

\(O N = \frac{A C}{4} .\)

Cách dễ hiểu nhất

Ta có \(A B \bot B C\), nên tam giác \(A B M\) vuông tại \(B\).

Lại có \(A B = B C\) và \(B M = \frac{B C}{2}\).

Tương tự, xét vị trí của \(N\) trên đường chéo \(B D\), từ các tính chất đối xứng của hình vuông ta suy ra hai góc tạo bởi \(A N\) và \(M N\) với các cạnh của hình vuông bằng nhau. Vì vậy:

\(\angle M A N = \angle A M N .\)

Suy ra:

\(A N = M N .\)

Mặt khác, hai góc đó cộng lại bằng \(90^{\circ}\), nên:

\(\angle M A N + \angle A M N = 90^{\circ} .\)

Do đó:

\(\angle A N M = 90^{\circ} .\)

Vậy:

\(\boxed{\triangle MAN\text{ vu}\hat{\text{o}}\text{ng cân t}ạ\text{i }N}.\)