câu 1:

=> \(2S-S=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}\)

đặt A= \(1+\frac{1}{2^1}+\cdots+\frac{1}{2^{99}}\)

=> \(2A-A=1-\frac{1}{2^{99}}\)

=> \(S=1+1-\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}=2-\left(\frac{1}{2^{99}}+\frac{100}{2^{100}}\right)<2\left(đpcm\right)\)

câu 2:

đặt B=\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\ldots\left(n+6\right)\)

=> B⋮5

trong 6 số nguyên liên tiếp có đúng 2 số chia hết cho 3

=> 3 x 3=9

=> B⋮9

trong 6 số tự nhiên liên tiếp tồn tại 3 số chẵn liên tiếp

đặt 2k,2k+4,2k+6 là 3 số chẵn liên tiếp(k ∈ N)

\(\) ta có: \(2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=2k\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k+2\right)=8k\cdot\left(k+1)\cdot\left(k+2\right)\right.\)

vì \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) ⋮2

=> \(8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) ⋮16

vì 5,9,16 nguyên tố cùng nhau nên A⋮5 x 9 x 16=720

câu 3:

xy-2x+3y=11

x(y-2)+3(y-2)+6=11

(y-2)(x+3)=5

vì x,y ∈ Z nên ta có bảng

Kl:......

câu 4:

a)=> AB=OB-OA=7-3=4(cm)

b) => AC= OA+ OC=3+1=4(cm)

=> AC=AB=> A là trung điểm BC

Câu 5: ko hiểu:v

dễ CM: △ABD~△ACE

=> góc EBH=góc QCN

=> △PMB~△QNC

=> \(\frac{MB}{NC}=\frac{PM}{NQ}\Rightarrow\frac{MB}{PM}=\frac{NC}{NQ}\)

mà ta có góc HQN= góc DHQ

góc DHQ= góc QHN

=> góc QHN= góc HQN

=> △HNQ cân tại N=> HN=NQ

CMTT: △ HPM cân tại M=> PM=NH

=> \(\frac{MB}{NH}=\frac{NC}{NH}\)

=> MN//BC

gọi gioa của HI với BC là K'

=> \(\frac{MI}{BK^{\prime}}=\frac{HI}{HK^{\prime}}\) và \(\frac{IN}{KC^{\prime}}=\frac{HI}{HK^{\prime}}\)

=> \(\frac{MI}{BK^{\prime}}=\frac{IN}{KC^{\prime}}\)

vì MI=IN=> BK'=CK'=> K' là trung điểm BC

=> K' trùng K

=> H,I,K thẳng hàng(đpcm)

bt engel rồi thì AM-GM cx ngang nhau mà:v

cộng thêm 3 vào 2 vế

\(\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac32+3\)

\(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac92\)

\(\left(a+b+c_{}\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac92\)

nhân đôi 2 vế với 2

\(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)

\(\left\lbrack\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right\rbrack\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)

điều này luôn đúng với a,b,c >0

dấu "=" xảy ra khi a=b=c

a) dễ CM: △AED=△DFC(c.g.c)

=> CF=DE và DE⊥CF

b) CMTT: => CE⊥BF

gọi giao của CM và AB là G

dễ dàng CM: △ABM=△CBM(c.g.c)

=> góc BAM= góc BCM

mà trong hình chữ nhật AEMF

=> góc BAM= góc AEF

=> góc AEF= góc BCM

xét tam giác BCG vuông tại B

góc BCG+ góc BGC= 90 độ

=> góc AEF+ góc BGC= 90 độ

=> CG⊥EF

xét tam giác EFC có:

ED⊥FC

BF⊥EC

CG⊥EF

=> DE,BF,CM đồng quy

c) ta có \(S_{AEMF}=AE\cdot AF=AE\cdot EB\)

\(=AE\left(AB-AE\right)=AE\cdot AB-AE^2=\frac{AB^2}{4}-\left(\frac{AB^2}{4}-AE\cdot AB+AE^2\right)\)

\(=\frac{AB^2}{4}-\left(\frac{AB}{2}-AE\right)^2\)

\(\Rightarrow S_{AEMF}\le\frac{AB^2}{4}\)

"=" xảy ra khi \(\frac{AB}{2}=AE\)

=> E là trung điểm AB

mà ME//AD

=> M là trung điểm DB

C1: dự đoán điểm rơi x=y=z=1

dùng Cô si 2 số(CT: \(\sqrt{xy}\le\frac12\left(x+y\right)\) )

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\frac{x^2}{1+x^2}}=\sqrt{x\cdot\frac{x}{1+x^2}}\)

nếu áp dụng Cô si ngay thì \(\sqrt{x\cdot\frac{x}{1+x^2}}\le\frac12\left(x+\frac{x}{1+x^2}\right)\)

dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{x}{1+x^2}\)

\(x=1\)

\(\frac{x}{1+x^2}=\frac{1}{1+1^2}=\frac12\)

ta đặt thêm hệ số n để cân bằng lại

\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\left(nx\right)\cdot\left(\frac{1}{n}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right)}\)

=> \(n=\frac{1}{2n}\) tại x=1

=> n= \(\frac{1}{\sqrt2}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\cdot\left(\frac{x\sqrt2}{1+x^2}\right)}\le\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{x\sqrt2}{2\left(1+x^2\right)}\)

ta có \(\frac{x}{1+x^2}\le\frac12\Rightarrow\frac{x\sqrt2}{2\left(1+x^2\right)}\le\frac{\sqrt2}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\le\frac{x}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

CMTT: \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\le\frac{y}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

\(\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{z}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{4}\)

=> \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{x+y+z}{2\sqrt2}+3\cdot\frac{\sqrt2}{4}=\frac{3\sqrt2}{2}\) (đpcm)

"=" xảy ra khi x=y=z=1

C2: dùng Bunhiacopxki 3 số

CT: \(\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)^2\le\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right)\)

\(P=\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{x}{1+x^2}}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{\frac{y}{1+y^2}}+\sqrt{z}\cdot\sqrt{\frac{z}{1+z^2}}\)

=> \(P^2\le\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\right)\)

\(P^2\le3\cdot\frac32=\frac92\)

=> \(P\le\frac{3}{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}\) (đpcm)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

chào lại em An baka nha:)

a) \(\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2-y^3\right)\)

= \(x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\)

vì x,y alf các số dương nên \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\left(đpcm\right)\)

"=" xảy ra ki x=y

b) \(4\left(x^3+y^3\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

\(4\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^3\)

vì x,y>0 nên x+y>0

=> \(4\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6xy+3y^2\ge0\)

\(3\left(x-y\right)^2\ge0\) đúng với mọi x,y

"=" xảy ra khi x=y

c) ta có" \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(2\left(x^3+y^3\right)\ge x^3+y^3+x^2y+xy^2\)

\(x^2+y^3\ge x^2y+xy^2\) (CM ở câu a)

"=" khi x=y

d) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)

vì x,y dương nên \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)

"=" xảy ra khi x=y

a) dễ CM

b) ta có góc BIH+ góc IBH= 90 độ

góc ADI+ góc ABD= 90 độ

mà góc ABD= góc IBH

=> góc ADI= góc BIH

mà góc BIH= góc AID( đối đỉnh)

=> góc ADI= góc AID

=> △ADI cân tại A

c) dễ CM: BD là đường trung trực của AE

mà BD//EF

=> EF⊥AE

từ câu a)=> AD=DE

=> △ADE cân tại D

=> góc DAE= góc DEA và DE=DA

mà góc DFE= 90 độ- góc DAE

góc DEF= góc 90 độ- góc DEA

mà góc DAE= góc DEA

=> góc DFE= góc DEF

=> △DEF cân tại D

=> DE=DF=DA

=> D là trung điểm AF

xét △AEF

FK là đường trung tuyến

ED là đường trung tuyến

=> G là trọng tâm của △AEF

=> GE=2GD(đpcm)

Em đăng kí nhận thưởng sự kiện khen thưởng ctv tích cực hàng tuần từ 10 đến 16 tháng 08 năm 2026 ạ!

a) dễ CM

b) => GF là đường trung bình

=> GF=\(\frac12AB=EB\)

mà từ câu a) => EB=FI

=> GF=FI=> F là trung điểm GI

mà F cx là trung điểm AC

=> tứ giác AICG là hbh

để AIGC là hcn thì AC=GI

mà GI=2GF=AB

=> AC=AB

=> △ABC vuông cân tại A thì AICG là hcn

mà để AIGC là h vuông thì AG=GC

vì △ABC vuông cân nên AG=\(\frac12BC=GC\) ( điều này luôn đúng)

tự đặt số

=> xy=2-x-y

ta có pt2= \(\left(x+y\right)^2-xy=4\)

\(\left(x+y\right)^2-\left(2-x-y\right)=4\)

\(\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)-6=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+3\right)=0\)

TH1: \(y=2-x\)

=> \(x+x\left(2-x\right)+\left(2-x\right)=2\)

\(x\left(2-x\right)=0\)

TH1a: x=0=> y=2

TH1b: x=2=>y=0

TH2: \(y=-3-x\)

thay vào phương trình (1) ta dc

\(x+x\left(-3-x\right)+\left(-3-x\right)=2\)

\(x-3x-x^2-3-x-2=0\)

\(-x^2-3x-5=0\)

\(\Rightarrow x^2+3x+5=0\)

\(\left(x+\frac34\right)^2+\frac{11}{4}=0\)

vì phương trình trên VT>0 nên vô nghiệm

KL:......