bài 14:

=> góc ACB= 180 độ- 50 độ- 70 độ= 60 độ

=> góc MCB= 60 độ:2= 30 độ

xét tam giác MBC có:

góc BMC= 180 độ- 50 độ- 30 độ= 100 độ

xét tam giác BMN có:

góc MNB= 180 độ- 100 độ- 40 độ= 40 độ

vì góc MNB= góc MBN= 40 độ

=> △BMN cân tại M

kẻ tam giác đều CMF với B;F nằm cùng phía với nhau

=> góc BCF= góc MCF- góc MCB= 60 độ- 30 độ= 30 độ

xét tam giác MCB và tam giác FCB có:

góc BCF= góc MCB= 30 độ

MC=CF

CB chung

=> △MCB=△FCB(c.g.c)

=> BF=BM và góc MBC= góc FBC= 50 độ

=> góc MBF= góc MBC+ góc FBC= 100 độ

xét tam giác MBF có:

góc BMF= góc BFM= (180 độ- 100 độ):2=40 độ

xét tam giác BMN và tam giác FMB có:

MN=BF=MB

góc BMN= góc MBF= 100 độ

MB là cạnh chung

=> △BMN=△FMB(c.g.c)

=> BN=FM

mà FM=CM( trong tam giác đều CMF)

=> BN=CM(đpcm)

bài 15:

từ E kẻ EM⊥AO và từ F kẻ FN⊥AO

ta có góc EAM+ góc EAB+ góc BAH= 180 độ

mà góc EAB= 90 độ

=> góc EAM+ góc BAH= 90 độ

xét tam giác BAH có:

góc ABH+ góc BAH= 90 độ

từ hai điều trên => góc EAM= góc ABH

xét tam giác EAM và tam giác ABH có:

góc EAM= góc ABH

EA=AB

góc EMA= góc AHB= 90 độ

=> △EAM=△ABH(ch.gn)

=> EM=AH(1)

CMTT: => góc NAF= góc HCA

xét tam giác NAF và tam giác HCA có:

góc NAF= góc HCA

AF=AC

góc ANF= góc CHA= 90 độ

=> △NAF=△HCA(ch.gn)

=> NF=AH(2)

từ(1)(2)=> EM=NF

ta có EM⊥AO và NF⊥AO

=> EM//NF

=> góc NFO= góc OEM

xét tam giác OEM và tam giác OFN có:

EM=NF

góc NFO= góc OEM

góc OME= góc ONF= 90 độ

=> △OEM=△OFN(g.c.g)

bài 13:

ta có góc ABH+ góc BAH= 90 độ

góc CAK+ góc BAH= 90 độ

=> góc ABH= góc CAK

xét tam giác ABH và tam giác CAK có:

AB=CA

góc AHB= góc CKA= 90 độ

góc ABH= góc CAK

=> △ABH=△CAK

=> BH=AK và góc ABH= góc CAK

ta có tam giác ABC vuông cân

=> góc ABM= góc ACM= góc CAM= 45 độ

ta có: góc MBH= góc ABH- góc ABM= góc ABH- 45 độ

góc MAK= góc CAK- góc CAM= góc CAK- 45 độ

vì góc ABH= góc CAK

=> góc MBH= góc MAK

xét tam giác MBH và tam giác MAK có:

MB=MA( vì góc MAB= góc ABM= 45 độ)

góc MBH= góc MAK

BH=AK

=> △MBH=△MAK(c.g.c)

=> MH=MK

=> góc BMH= góc MAK

mà ta có góc HMK= góc BMH+ góc BMK

thay góc BMH= góc MAK ta có:

góc HMK= góc MAK+ góc BMK= 90 độ

mà KM=HM

=> △HKM là tam giác vuông cân tại M

CMTT: với E nằm ở MC

bài 3:

sửa đề: tìm x ;y nguyên bt

a) \(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)

vì \(8\left(x-2009\right)^2\ge0\)

=> \(25-y^2\ge0\)

\(y^2\le25\)

vì \(8\left(x-2009\right)^2\) luôn là số chẵn

=> \(25-y^2\) phải là số chẵn

vì 25 là số lẻ => \(y^2\) phải là số lẻ

các số chính phương nhỏ hơn hoặc bằng 25 gồm: 1;9;25

TH1: \(y^2=25\Rightarrow y=5\) hoặc y=-5

thay vào ta có:

\(8\left(x-2009\right)^2=0\Rightarrow x-2009=0\Rightarrow x=2009\left(TM\right)\)

TH2: \(y^2=9\Rightarrow y=3\) hoặc y=-3

=> \(8\left(x-2009\right)^2=16\)

\(\left(x-2009\right)^2=2\)

vì 2 ko phải số chính phương nên ko có x nguyên

TH3: \(y^2=1\Rightarrow y=-1\) hoặc y=1

=> \(8\left(y-2009\right)^2=24\)

\(\left(y-2009\right)^2=3\)

vì 3 ko phải là số chính phương nên ko có x nguyên thỏa mãn

vậy (x;y)∈(2009;5);(2009;-5)

b) \(\Rightarrow x^3y-xy^3=1997\)

\(xy\left(x^2-y^2\right)=1997\)

\(xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)=1997\)

TH1:nếu x;y cùng tính chẵn lẻ

=> (x-y) là một số chẵn

=> \(xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\) là một số chẵn

mà 1997 là số lẻ nên loại TH này

TH2: x;y khác tính chẵn lẻ

=> xy là một số chẵn

=> \(xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\) là một số chẵn

mà 1997 là một số lẻ nên loại TH2

vậy ko tìm dc mọi x;y nguyên thỏa mãn yêu cầu

c) \(\Leftrightarrow xy-x-y=9+7\)

\(xy-x-y=16\)

\(x\left(y-1\right)-y+1=17\)

\(x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=17\)

\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)=17\)

vì x;y nguyên

ta có bảng giá trị

vậy (x;y) ∈(2;18);(18;2);(0;-16);(-16;0)

bài 4:

khi nhân hai giá trị với nhau sẽ có khả năng là -1 hoặc 1

ta có: \(x_1x_2+x_2x_3+.\ldots+x_{n}x_1=0\)

nếu có k số lượng số 1 thì phải có k số lượng số -1 để bù vào thành 0

tổng số hạng là: n=k+k=2k

ta xét tích của các số hạng ta có:

\(P=\left(x_1x_2\right)\left(x_2x_3\right)\ldots\left(x_{n}x_1\right)\)

\(P=x_1^2\cdot x_2^2\cdot\ldots\cdot x_{n}^2\)

vì bình phương lên nên ta có các giá trị đều bằng 1

=> P= 1 x 1 x .... x 1= 1

mà có k số -1 và k số 1

=> \(P=\left(-1\right)^{k}\cdot1^{k}=\left(-1\right)^{k}\)

=> \(\left(-1\right)^{k}=1\)

để biểu thức xảy ra thì k phải là một số chẵn

đặt k=2b(b∈N)

mà n=2k

=> n=2(2b)=4b

vì b∈N

=> n chia hết cho 4(đpcm)

a) ta có: GB=2GM

mà GB=GE

=> GE=2GM

=> M là trung điểm GE

=> ME=MG

xét tam giác AME và tam giác CMG có:

MA=MC

góc AME= góc CMG

ME=MG

=> △AME=△CMG(c.g.c)

=> góc MAE= góc MCG

mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

=> AE//CG

b) vì G là trọng tâm của tam giác ABC

=> AG là đường trung tuyến thứ 3

=> I là trung điểm của BC

xét tam giác GKE và tam giác GIB có:

góc GEK= góc GBI

GE=GB

góc KGE= góc IGB

=> △GKE=△GIB

=> KE=IB

xét tam giác GKF và tam giác GIC có:

góc GFK= góc GCI

GF=GC

góc KGF= góc IGC

=> △GKF=△GIC

=> KF=IC

mà IB=IC

=> KE=KF

=> K là trung điểm cả EF

d)xét tam giác GFE có:

FM là đường trung tuyến

KG là đường trung tuyến thứ 2

=> O là trọng tâm

ta có GC=2NG

mà GF=GC

=> GF=2NG mà N thuộc FG

=> N là trung điểm của FG

=> EN là đường trung tuyến thứ 3 trong tam giác GFE

=> N,O,E thẳng hàng(đpcm)

sửa đề: cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BP, cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE=PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF=QG.CM

a) GB=GE

b) GC=GF và EF//BC

a) vì G là giao của hai đường trung tuyến trong tam giác ABC

=> GB=2GP

ta có: GP+EP=GE

mà GP=EP

=> GE=2GP

từ các điều trên => GB=GE

b) vì G là giao của hai đường trung tuyến trong tam giác ABC

=> GC=2QG

ta có: GF= QG+QF

mà QG=QF

=> GF= 2QG

từ các điều trên=> GC=GF

xét tam giác GFE và tam giác GCB có:

GC=GF

góc FGE= góc CGB( đối đỉnh)

GE=GB

=> △GFE= △GCB

=>góc GBC= góc GEF

mà hai góc này ở vị trí so le trong

=> EF//BC(đpcm)

1) S= (26-x)(16+x)

S= \(416+10x-x^2\left(m^2\right)\)

2) diện tích ban đầu của thửa ruộng là:

= \(26\times16=416\left(m^2\right)\)

diện tích sau khi tăng thêm là: \(S=416+25=441\)

=> \(416+10x-x^2=441\)

\(10x-x^2=25\)

\(\Rightarrow x^2-10x+25=0\)

\(\left(x-5\right)^2=0\)

x-5=0

=>x=5

để diện tích tăng thêm \(25m^2\) ; x cần tim là 5m

bài 1:

từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại P

xét tam giác ABD và tam giác APD có:

góc BAD= góc PAD( vì AD là tia phân giác )

góc ABD= góc APD= 90 độ

=> △ABD = △APD

=> BD=PD

xét tam giác DPC có:

DP là hình chiếu

DC là đường xiên

=> DP<DC

=>BD<DC

bài 2:

gọi G là giao điểm của AD và BE

=> AG=2GD và BG=2DE

xét tam giác BGD vuông tại G có:

\(BD^2=BG^2+GD^2\)

mà BG=2BD=> \(BG^2=4BD^2\) có

\(BD^2=4GE^2+GD^2\)

ta có : \(BC=2BD\Rightarrow BD^2=4BD^2\)

thay BD=... ta có:

=> \(BC^2=4BD^2=4\left(4GE^2+GD^2\right)=16GE^2+4GD^2\)

xét tam giác AGE vuông tại G có:

\(AE^2=AG^2+GE^2\)

thay \(\Rightarrow AG=2GD\Rightarrow AG^2=4GD^2\) ta có:

\(AE^2=4GD^2+GE^2\)

mà \(AC=2AE\Rightarrow AC^2=4AE^2\)

=> \(AC^2=4\left(4GD^2+GE^2\right)=16GD^2+4GE^2\)

=> \(4AC^2=4\left(16GD^2+4GE^2\right)=64GD^2+16GE^2\)

vì \(4GD^2>64GD^2\)

=> \(4GD^2+16GE^2<64GD^2+16GE^2\)

=> \(BC^2<4AC^2=\left(2AC\right)^2\)

=> \(BC<2AC\) (đpcm)

bài 3:

ta có AC=AD+CD

xét tam giác AED có:

AE là là hình chiếu

AD là đường xiên

=> AE<AD

xét tam giác CFD vuông tịa F

CF là hình chiếu

CD là đường xiên

=> CF<CD

từ các điều trên => AE+CF<AD+CD

AE+CF<AC

bài 4:

gọi độ dài còn lại của tam giác là x(x∈\(N^{\cdot}\) )

=> 8-2<x<8+2( bđt trong tam giác)

6<x<10

mà x là một số tự nhiên chẵn

=>x=8

bài 5:

a) xét tam giác OBC có:

O là giao của ba đường trung trực

=> △OBC là △ cân

=> OB=OC

CMTT: => △OBA;△OAC là tam giác cân

=> OA=OB=OC

b) vì △OBA là tam giác cân

=> góc OAB= góc OBA hay góc OAD= góc OBA

mà xét tam giác ABC cân có O là giao các đường trung trực

=> OA là phân giác của tam giác ABC

=> góc OAB= góc OAC= góc OCA( vì tam giác OAC cân tại O)

=> góc OAD= góc OCA hay góc OAD= góc OCE

xét tam giác ODA và tam giác OEC có:

AD=EC

góc OAD= góc OCE

OA=OC

=> △ODA=△OEC(c.g.c)

=> OD=OE

=> O thuộc đường trung trực của DE

bài 6:

TH1: cạnh đáy là 6cm

gọi cạnh bên là x(x>0)

=> chu vi= x+x+6=20cm

2x+6=20

2x=14

x=7

TH2: cạnh bên là 6cm

gọi đáy là y(y>0)

=> chu vi= 6+6+y=20

12+y=20

y= 8

bài 7:

a) vì tam giác ABC là tam giác cân

=> AG vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác

mà AD⊥BC

=> A;G;D thẳng hàng

b) vì △ABC cân tại A

=> góc BAG= góc CAG

xét tam giác BAG và tam giác CAG có:

AG chung

góc BAG= góc CAG

AB=AC

=> △BAG=△CAG

bài 8:

a) ta có AE=AB

=> △ABE là tam giác cân tại A

mà AD là đường phân giác

=> AD là đường cao đồng thời là đường phân giác

=>AD ⊥BE

mà BF⊥AE giao AD tại H

=> H là trực tâm của tam giác ABE

b) ta có AD là phân giác

=> góc HAF= góc DAC= 70 độ:2=35 độ

xét tam giác AHF có:

góc DHF= góc HAF+ góc HFA( t/c góc ngoài của tam giác )

=> góc DHF= 35 độ+ 90 độ= 125 độ

bài 9:

a) xét tam giác ABM và tam giác ECM có:

AM=EM

góc AMB= góc EMC

BM=CM

=> △ABM=△ECM(ch.cgv)

b) từ câu a)=> góc BAM= góc CEM

=> AB//CE

c) xét tam giác HMC

HM là hình chiếu

MC là đường xiên

=> MH<MC

mà BM=MC

=> BM>MH(đpcm)

bài 2 với bài 10 nộp sau nha:)

mik nghĩ giả thiết S là trung điểm CH lên đầu đề bài để CM nha

a) xét tam giác CBH có:

S là trung điểm HC

M là trung điểm BC

=> SM là đường trung bình

=> SM//BH hay SM//BE

ta có O là giao của 3 đường trung trực

=> ON⊥AC

mà BE⊥AC

=> ON//BE

từ các điều trên => ON//SM(1)

xét tam giác SAH có:

N là trung điểm AC

S là trung điểm HC

=> SN là đường trung bình

=> SN//AH hay SN//AD

vì O là giao của 3 đường trung trực

=> OM⊥BC

mà AD⊥BC

=> ON//AD

kết hợp từ các điều trên => SN//ON(2)

xét tứ giác ONSM có:

từ (1)(2)=> tứ giác ONSM là hình hình hành

b) xét tam giác vuông AFH có:

\(FV=\frac12AH\)

xét tam giác vuông AEH có:

\(EV=\frac12AH\)

từ hai điều trên => FV=EV

=> V thuộc đường trung trực của EF

xét tam giác vuông BFC có:

\(FM=\frac12BC\)

xét tam giác vuông EBC có:

\(EM=\frac12BC\)

từ hai điều trên => FM=EM

=> M thuộc đường trung trực của EF

từ các điều trên => VM là đường trung trực của EF

=> VM⊥EF

vì ONSM là hình bình hành

=> OM=NS

mà NS là đường trung bình của tma giác AHC

=> \(NS=\frac12AH\)

=> \(OM=\frac12AH\) (đpcm)( đoạn này sửa thế đúng ko bạn)

c) vì \(AV=\frac12AH\)

mà ở câu b) ta lại có: \(OM=\frac12AH\)

=> AV=OM

vì OM//AD

từ hai điều trên => AOMV là hình bình hành

=> AO//VM và AO⊥FE tại K

vì OG=2OM

mà AH=2OM

=> OG=AH

lại có OG//AH vì cùng vuông góc với BC

=> tứ giác AHGO là hình bình hành

=> AO//HG//VM hay KO//TM//JG

xét hình thang vuông KOGJ có:

KO//TM//JG

M là trung điểm OG

gọi T là giao của VM và FE

=> T là trung điểm của JK

vì VM là đường trung bình của EF

=> T là trung điểm EF

ta có : FJ= TF-TJ

EK= TE-TK

mà TJ=TK và TF=TE

=> FJ=EK(3)

viết tắt vì lười quá thì dễ dàng CM: △AFE~△ABC

=> góc AEF= góc ABC

xét tam giác AKE và tam giác ABD có:

góc AEK= góc ABD

góc AKE= góc ADB= 90 độ

=> △AKE~△ADB(g.g)

=> \(\frac{EK}{BD}=\frac{AE}{AB}\)

CMTT: => △BID~△BAE(g.g)

=> \(\frac{DI}{AE}=\frac{BD}{BA}\)

=> \(\frac{DI}{BD}=\frac{AE}{BA}\)

từ hai điều trên => \(\frac{EK}{BD}=\frac{DI}{BD}\)

=> EK=DI(4)

từ (3)(4)=> DI=EK=FJ(đpcm)

Bài 3:

a) xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB=AC

AM là cạnh chung

MB=MC

=> △ABM=△ACM(c.c.c)

=> góc BAM= góc ACM

=> AM là tia phân giác của góc BAC

b) vì △ABM=△ACM

=> góc AMB= góc AMC

vì M;B;C thẳng hàng

=> góc AMB+ góc AMC= 180 độ

mà góc AMB= góc AMC

=> 2 x góc AMB= 180 độ

góc MAB= 180 độ:2= 90 độ

=> AM⊥BC

c) vì CN//AB

=> góc ABM= góc NCM

xét tam giác ABM và tam giác NCM có:

góc ABM= góc NCM

MB=MC

góc AMB= góc NMC( đối đỉnh)

=> △ABM=△NCM(g.c.g)

=> AM=MN

vì M;A;N thẳng hàng

=> M là trung điểm của AN(đpcm)