1/9

a) Chứng minh tam giác \(O B C\) cân

• \(C P\) và \(B Q\) là các phân giác trong tam giác \(A B C\).
• Theo tính chất giao điểm của hai phân giác, tại \(O\) ta có:
  \(\angle O B C = \angle O C B\)
• Do đó, tam giác \(O B C\) có hai góc ở đáy bằng nhau, suy ra:
  \(\boxed{\text{Tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; O B C \&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; O} .\)

b) Chứng minh điểm \(O\) cách đều ba cạnh \(A B , A C , B C\)

• \(O\) nằm trên phân giác \(C P\) nên \(O\) cách đều hai cạnh \(A B\) và \(B C\).
• \(O\) cũng nằm trên phân giác \(B Q\) nên \(O\) cách đều hai cạnh \(A C\) và \(B C\).
• Vì tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên cạnh \(A B = A C\), từ đó khoảng cách từ \(O\) đến \(A B\) và \(A C\) cũng bằng nhau.
• Kết luận:
  \(\boxed{Đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{ba}\&\text{nbsp};\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp}; A B , A C , B C} .\)

c) Chứng minh đường thẳng \(A O\) đi qua trung điểm \(B C\) và vuông góc với \(B C\)

• Vì \(A B C\) là tam giác cân tại \(A\), nên đường thẳng qua \(A\) và trung điểm của \(B C\) là:
• • Trung tuyến (vì chia \(B C\) thành hai đoạn bằng nhau).
  • Đường cao (vì vuông góc với \(B C\)).
  • Đường phân giác (vì chia góc \(A\) thành hai góc bằng nhau).
• Do đó, đường thẳng \(A O\) vừa đi qua trung điểm của \(B C\), vừa vuông góc với \(B C\).
• Vậy:
  \(\boxed{A O \&\text{nbsp};đ\text{i}\&\text{nbsp};\text{qua}\&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B C \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; A O \bot B C} .\)

d) Chứng minh \(C P = B Q\)

• Vì \(A B C\) cân tại \(A\), nên hai cạnh \(A B = A C\).
• Theo tính chất phân giác trong tam giác:
  \(\frac{A P}{P B} = \frac{A C}{B C} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{A Q}{Q C} = \frac{A B}{B C}\)
• Mà \(A B = A C\), nên \(\frac{A P}{P B} = \frac{A Q}{Q C}\).
• Vì \(O\) là giao điểm hai phân giác nên đường \(C P\) và \(B Q\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(A O\), dẫn tới:
  \(\boxed{C P = B Q} .\)

e) Tam giác \(A P Q\) là tam giác gì? Vì sao?

• Vì \(C P = B Q\) nên tam giác \(A P Q\) có hai cạnh bên bằng nhau.
• Vậy:
  \(\boxed{\text{Tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; A P Q \&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; A} .\)

(a)

• \(O A = O C\), \(O B = O D\) (giả thiết).
• ⇒ \(A D\) và \(B C\) đối xứng nhau qua phân giác \(O m\) ⇒ \(A D = B C\).

(b)
Xét \(\triangle A B E\) và \(\triangle C D E\):

• \(A B = C D\) (do \(O A - O B = O C - O D\)).
• \(A D = B C\) (câu (a)).
• Góc \(A E B = C E D\) (đối đỉnh).

⇒ \(\triangle A B E = \triangle C D E\) (cạnh - góc - cạnh).

(c)

• Vì \(\triangle A B E = \triangle C D E\) ⇒ \(\hat{A E O} = \hat{C E O}\).
• ⇒ \(O E\) là phân giác của \(\angle x O y\).

(a) Chứng minh \(\triangle I O E = \triangle I O F\):

• \(O E \bot I E\), \(O F \bot I F\) (do \(E , F\) là chân đường vuông góc).
• \(\hat{I O E} = \hat{I O F} = 90^{\circ}\) (cùng vuông).
• \(O I\) chung.
• \(O m\) là phân giác nên \(\hat{E O I} = \hat{F O I}\).

⇒ \(\triangle I O E = \triangle I O F\) (ch-gn-vg).

(b) Chứng minh \(E F \bot O m\):

• Từ (a), hai tam giác bằng nhau ⇒ \(I E = I F\).
• \(O m\) là phân giác nên \(E F\) đối xứng qua \(O m\).
• Vì vậy, \(E F \bot O m\).

• Vì \(A I\) là phân giác góc \(A D C\), nên \(\frac{I D}{I C} = \frac{A D}{D C}\).
• Đồng thời, \(A D\) là phân giác của \(\angle B A C\), nên có tỉ lệ tương tự trên \(A B\) và \(A C\).
• Góc \(\angle A = 120^{\circ}\), nên góc \(A D C\) là \(60^{\circ}\) (vì \(\angle A D C\) nằm trong tam giác vuông tại \(D\)).
• Suy ra tam giác \(I D C\) cân tại \(I\).

→ Do đó, \(I H = I K\) (vì trong tam giác cân, đường cao đồng thời là đường trung tuyến).

• Vì \(D\) là trung điểm \(B C\), nên \(B D = D C\).
• \(A D\) là phân giác nên \(\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C} = 1 \Rightarrow A B = A C\). (Vì \(B D = D C\))
• \(\triangle A B D\) và \(\triangle A C D\) vuông tại \(H\) và \(K\), có:
• • \(A B = A C\) (chứng minh)
  • \(\angle A B D = \angle A C D\) (cùng phụ với góc \(B A C\))

=> \(\triangle B H D \cong \triangle C K D\) (cạnh - góc vuông - cạnh).

=> \(B H = C K\) (đpcm).