phải j

: Ta có: \(\hat{B A E} = \hat{B A C} + \hat{E A C} = \hat{B A C} + 9 0^{0}\)

\(\hat{D A C} = \hat{D A B} + \hat{B A C} = 9 0^{0} + \hat{B A C}\)

Do đó: \(\hat{B A E} = \hat{D A C}\)

Xét ΔBAE và ΔDAC có

BA=DA

\(\hat{B A E} = \hat{D A C}\)

AE=AC

Do đó: ΔBAE=ΔDAC

=>BE=DC

b: Gọi O là giao điểm của BE và CD

ΔBAE=ΔDAC

=>\(\hat{A B E} = \hat{A D C} ; \hat{A E B} = \hat{A C D}\)

Xét tứ giác ADBO có \(\hat{A D O} = \hat{A B O}\)

nên ADBO là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{D A B} = \hat{D O B}\)

=>\(\hat{D O B} = 9 0^{0}\)

=>DC⊥BE tại O

c: Ta có: \(\hat{D A Q} + \hat{D A B} + \hat{B A H} = 18 0^{0}\)

=>\(\hat{D A Q} + \hat{B A H} = 18 0^{0} - 9 0^{0} = 9 0^{0}\)

mà \(\hat{B A H} + \hat{A B H} = 9 0^{0}\) (ΔAHB vuông tại H)

nên \(\hat{D A Q} = \hat{A B H}\)

Ta có: \(\hat{P A E} + \hat{E A C} + \hat{C A H} = 18 0^{0}\)

=>\(\hat{P A E} + \hat{C A H} = 18 0^{0} - 9 0^{0} = 9 0^{0}\)

mà \(\hat{C A H} + \hat{A C H} = 9 0^{0}\) (ΔAHC vuông tại H)

nên \(\hat{P A E} = \hat{A C H}\)

Xét ΔDAQ vuông tại Q và ΔABH vuông tại H có

DA=AB

\(\hat{D A Q} = \hat{A B H}\)

Do đó: ΔDAQ=ΔABH

=>DQ=AH(1)

Xét ΔPAE vuông tại P và ΔHCA vuông tại H có

AE=CA
\(\hat{P A E} = \hat{H C A}\)

Do đó: ΔPAE=ΔHCA
=>PE=HA(2)

Từ (1),(2) suy ra AH=DQ=PE

d:

Ta có: QD⊥AH

EP⊥AH

Do đó; QD//EP

Xét ΔKQD vuông tại Q và ΔKPE vuông tại P có

QD=PE

\(\hat{K Q D} = \hat{K E P}\) (hai góc so le trong, DQ//EP)

Do đó: ΔKQD=ΔKPE

=>KD=KE

=>K là trung điểm của ED

1. Xét △ABEtriangle cap A cap B cap E△𝐴𝐵𝐸và △ADCtriangle cap A cap D cap C△𝐴𝐷𝐶.
2. Có AB=ACcap A cap B equals cap A cap C𝐴𝐵=𝐴𝐶theo giả thiết.
3. Có AE=ADcap A cap E equals cap A cap D𝐴𝐸=𝐴𝐷theo giả thiết.
4. Góc ∠BAE=∠BAC+∠CAE=90∘+90∘=180∘angle cap B cap A cap E equals angle cap B cap A cap C plus angle cap C cap A cap E equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent plus 90 raised to the exponent composed with end-exponent equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=90∘+90∘=180∘.
5. Góc ∠CAD=∠CAB+∠BAD=90∘+90∘=180∘angle cap C cap A cap D equals angle cap C cap A cap B plus angle cap B cap A cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent plus 90 raised to the exponent composed with end-exponent equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐷=90∘+90∘=180∘.
6. Do đó ∠BAE=∠CADangle cap B cap A cap E equals angle cap C cap A cap D∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷.
7. △ABE=△ADCtriangle cap A cap B cap E equals triangle cap A cap D cap C△𝐴𝐵𝐸=△𝐴𝐷𝐶(c.g.c).
8. Suy ra BE=CDcap B cap E equals cap C cap D𝐵𝐸=𝐶𝐷(hai cạnh tương ứng).

1. Gọi Icap I𝐼là giao điểm của BEcap B cap E𝐵𝐸và CDcap C cap D𝐶𝐷.
2. Gọi Kcap K𝐾là giao điểm của BEcap B cap E𝐵𝐸và ACcap A cap C𝐴𝐶.
3. Từ △ABE=△ADCtriangle cap A cap B cap E equals triangle cap A cap D cap C△𝐴𝐵𝐸=△𝐴𝐷𝐶, suy ra ∠ABE=∠ADCangle cap A cap B cap E equals angle cap A cap D cap C∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐶.
4. Trong △AKBtriangle cap A cap K cap B△𝐴𝐾𝐵, có ∠AKB+∠KAB+∠ABK=180∘angle cap A cap K cap B plus angle cap K cap A cap B plus angle cap A cap B cap K equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐴𝐾𝐵+∠𝐾𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐾=180∘.
5. ∠AKB=180∘−∠KAB−∠ABK=180∘−90∘−∠ABK=90∘−∠ABKangle cap A cap K cap B equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus angle cap K cap A cap B minus angle cap A cap B cap K equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 90 raised to the exponent composed with end-exponent minus angle cap A cap B cap K equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent minus angle cap A cap B cap K∠𝐴𝐾𝐵=180∘−∠𝐾𝐴𝐵−∠𝐴𝐵𝐾=180∘−90∘−∠𝐴𝐵𝐾=90∘−∠𝐴𝐵𝐾.
6. Trong △CIKtriangle cap C cap I cap K△𝐶𝐼𝐾, có ∠CIK+∠KCI+∠IKC=180∘angle cap C cap I cap K plus angle cap K cap C cap I plus angle cap I cap K cap C equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐶𝐼𝐾+∠𝐾𝐶𝐼+∠𝐼𝐾𝐶=180∘.
7. ∠IKC=∠AKBangle cap I cap K cap C equals angle cap A cap K cap B∠𝐼𝐾𝐶=∠𝐴𝐾𝐵(đối đỉnh).
8. ∠KCI=∠ACDangle cap K cap C cap I equals angle cap A cap C cap D∠𝐾𝐶𝐼=∠𝐴𝐶𝐷.
9. ∠CIK=180∘−∠IKC−∠KCI=180∘−∠AKB−∠ACDangle cap C cap I cap K equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus angle cap I cap K cap C minus angle cap K cap C cap I equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus angle cap A cap K cap B minus angle cap A cap C cap D∠𝐶𝐼𝐾=180∘−∠𝐼𝐾𝐶−∠𝐾𝐶𝐼=180∘−∠𝐴𝐾𝐵−∠𝐴𝐶𝐷.
10. ∠CIK=180∘−(90∘−∠ABK)−∠ACD=90∘+∠ABK−∠ACDangle cap C cap I cap K equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus open paren 90 raised to the exponent composed with end-exponent minus angle cap A cap B cap K close paren minus angle cap A cap C cap D equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent plus angle cap A cap B cap K minus angle cap A cap C cap D∠𝐶𝐼𝐾=180∘−(90∘−∠𝐴𝐵𝐾)−∠𝐴𝐶𝐷=90∘+∠𝐴𝐵𝐾−∠𝐴𝐶𝐷.
11. Vì ∠ABK=∠ADCangle cap A cap B cap K equals angle cap A cap D cap C∠𝐴𝐵𝐾=∠𝐴𝐷𝐶và ∠ACD=∠ADCangle cap A cap C cap D equals angle cap A cap D cap C∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶, nên ∠CIK=90∘angle cap C cap I cap K equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent∠𝐶𝐼𝐾=90∘.
12. Do đó BE⟂CDcap B cap E ⟂ cap C cap D𝐵𝐸⟂𝐶𝐷.

1. Xét △ACDtriangle cap A cap C cap D△𝐴𝐶𝐷và △ABEtriangle cap A cap B cap E△𝐴𝐵𝐸.
2. Mcap M𝑀là trung điểm của CDcap C cap D𝐶𝐷, nên AMcap A cap M𝐴𝑀là đường trung tuyến của △ACDtriangle cap A cap C cap D△𝐴𝐶𝐷.
3. Ncap N𝑁là trung điểm của BEcap B cap E𝐵𝐸, nên ANcap A cap N𝐴𝑁là đường trung tuyến của △ABEtriangle cap A cap B cap E△𝐴𝐵𝐸.
4. △ACD=△ABEtriangle cap A cap C cap D equals triangle cap A cap B cap E△𝐴𝐶𝐷=△𝐴𝐵𝐸(đã chứng minh ở phần a).
5. Hai tam giác bằng nhau có các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau.
6. Do đó AM=ANcap A cap M equals cap A cap N𝐴𝑀=𝐴𝑁.