Xét tam giác ABC có BN là đường phân giác của góc ABC, áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

AN/NC = AB/BC = b/a

Theo tính chất tỉ lệ thức ta suy ra:

AN/AN+NC = b/a+b

=>AN/AC = b/a+b

Thay AC = b vào, ta được:

AN = b×b/a+c = b^2/a+b

Tương tự, xét tam giácABC có CM là đường phân giác của góc ACB ta có:

AM/BM = AC/BC =b/a

=> AM = b^2/a+b

Vì AM = AN = b^2/a+b

Và AB = AC= b

Suy ra AN/AB = AN/AC

Theo định lý Thalès đảo, suy ra MN song song với BC.

Vì MN song song với BC nên áp dụng định lí Thalès trong tam giác ABC ta có:

MN/BC = AB/AC

Thay BC = a, AC = b và AN = b^2/a+b vào:

MN/a = b^2/a+b/b = b/a+b

Suy ra MN = a×b/a+b

Vì tam giác ABC cân tại A

Nên AC = AB =12(cm)

Vì đường phân giác của góc C cắt AB tại D nên theo tính chất đường phân giác ta suy ra:

AD/DB=AC/BC

Ta có AD/BD = 12/6= 2

Suy ra AD = 2 × BD

Ta có AD + BD = AB = 12(cm)

Thay AD = 2 × BD vào biểu thức trên ta được :

2 × BD + BD = 12

3 × BD = 12

Suy ra BD= 4(cm)

Và AD = 12 - 4 = 8(cm)

Vậy AD = 8cm, BD = 4cm.