Dương Trần Long
Giới thiệu về bản thân
sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} +\)sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 36 0^{\circ}\),
sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 2\)sđ\(_{\text{nh}ỏ}\) nên:
sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 12 0^{\circ}\).
Suy ra \(\hat{A O B} = 12 0^{\circ}\).
Vẽ \(O H ⊥ A B\), ta có \(\hat{A O H} = \hat{H O B} = 6 0^{\circ}\) và \(A H = H B = \frac{1}{2} A B\).
Tam giác \(A O H\) có \(\hat{A H O} = 9 0^{\circ}\), \(\hat{A O H} = 6 0^{\circ}\) nên
\(O H = \frac{1}{2} A O = \frac{1}{2} R\)
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
\(A H^{2} = A O^{2} - O H^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)
Suy ra \(A H = \frac{R \sqrt{3}}{2}\).
Vậy \(A B = 2 A H = R \sqrt{3}\).
a) Ta có sđ\(_{\text{nh}ỏ} +\)sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 36 0^{\circ}\),
mà sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 3\)sđ\(_{\text{nh}ỏ}\).
Suy ra sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 9 0^{\circ}\);
sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 27 0^{\circ}\).
b) Ta có \(\hat{A O B} =\) sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 9 0^{\circ}\), mà \(O A = O B = R\).
Suy ra tam giác \(O A B\) vuông cân tại \(O\).
Mặt khác \(O H ⊥ A B = \left{\right. H \left.\right}\).
Suy ra \(\Delta O H A\) vuông cân tại \(H\) suy ra \(O H = H A = \frac{A B}{2}\).
Khi đó \(H\) là trung điểm của \(A B\) hay \(A H = \frac{A B}{2} = \frac{3}{2}\).
Vì cung nhỏ \(= 10 0^{\circ}\) nên \(\hat{A O B} = 10 0^{\circ}\)
Hay \(\hat{A O H} = 5 0^{\circ}\).
Ta có \(A O = \frac{A H}{sin \hat{A O H}} = \frac{3}{2 sin 5 0^{\circ}} = 2\) cm.
Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{B} = \hat{D} = 9 0^{\circ}\) nên \(O A = O B = O C = O D\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Suy ra bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn tâm \(O\), đường kính \(A C\).
\(A C\) là đường kính, \(B D\) là dây không đi qua điểm \(O\).
Suy ra \(A C > B D\).
Tam giác \(A B C\) có hai đường cao \(B B^{'}\) và \(C C^{'}\) nên
\(\hat{B C^{'} C} = \hat{B B^{'} C} = 9 0^{\circ}\)
Suy ra \(O B = O C = O B^{'} = O C^{'}\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Do đó bốn điểm \(B\), \(C^{'}\), \(B^{'}\), \(C\) cùng nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(O B^{'}\).
Đường kính \(B C\), \(B^{'} C^{'}\) là dây cung nên độ dài \(B^{'} C^{'}\) nhỏ hơn độ dài \(B C\).
Vẽ \(O H ⊥ M N\) tại \(H\) thì \(H M = H N = \frac{1}{2} M N = \frac{R}{2}\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(O M H\), ta được:
\(O H^{2} = O M^{2} - M H^{2} = R^{2} - \left(\right. \frac{R}{2} \left.\right)^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)
\(O H = \sqrt{\frac{3 R^{2}}{4}} = \frac{R \sqrt{3}}{2}\)
Vậy khoảng cách từ \(O\) đến dây \(M N\) là \(\frac{R \sqrt{3}}{2}\)
Ta có \(O I = \frac{1}{2} O A = \frac{1}{2} . 10 = 5\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(I M O\), ta được:
\(I M^{2} = O M^{2} - O I^{2} = 1 0^{2} - 5^{2} = 75\)
Suy ra \(I M = 5 \sqrt{3}\).
Ta có \(M N \bot O A\) tại trung điểm \(I\) của \(O A\), nên:
\(I M = I N = \frac{1}{2} M N\) nên \(M N = 2 I M = 2.5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}\).