KUDOSHINICHI Vn
Giới thiệu về bản thân
Hãy miêu tả đôi chút về bản thân bạn!!!Xin chào
0
0
0
0
0
0
0
2026-08-03 08:29:02
Vì tam giác \(ABC\) cân có \(AB > BC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Suy ra \(AB = AC\) và \(\widehat{B} = \widehat{C}\).a) Chứng minh tứ giác \(BEQN\) là một hình chữ nhậtTa có:
Do \(QN \parallel BE\) và \(BE \perp BK\) nên \(QN \perp BK\), hay góc tạo bởi cạnh đáy bằng nhau.
Xét \(\triangle BPM\) vuông tại \(P\) và \(\triangle MQ[...]\) (hoặc bằng cách chứng minh hình thang cân/tam giác bằng nhau):Dễ dàng chứng minh được \(EN \parallel AB\) do các tỉ số đoạn thẳng tương ứng bằng nhau khi có \(MN = MP\).
Từ đó, ta có cạnh \(EN \perp QN \Rightarrow \widehat{ENQ} = 90^\circ\).Tứ giác \(BEQN\) có 3 góc vuông:
b) Chứng minh \(MP + MQ = CF\)Vì tứ giác \(BEQN\) là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a), nên các cạnh đối bằng nhau:
\(QN=BE\)Mà điểm \(M\) nằm giữa \(Q\) và \(N\) (vì \(N\) thuộc tia đối của \(MQ\)) nên:
\(QN=MQ+MN\)Theo đề bài cho, ta có \(MN = MP\). Thay vào biểu thức trên ta được:
\(QN=MQ+MP\)
Do đó: \(MP + MQ = BE\) (1)Mặt khác, vì \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) nên hai đường cao xuất phát từ hai góc ở đáy bằng nhau:
\(BE=CF\)
(2)Từ (1) và (2) suy ra:
\(MP + MQ = CF\) (đpcm).
- \(BE\) là đường cao của \(\triangle ABC\) nên \(BE \perp AC\) tại \(E \Rightarrow \widehat{BEQ} = 90^\circ\).
- \(MQ \perp AC\) tại \(Q\). Mà \(N\) thuộc tia đối của \(MQ\) nên \(QN \perp AC\) tại \(Q \Rightarrow \widehat{EQN} = 90^\circ\).
Do \(QN \parallel BE\) và \(BE \perp BK\) nên \(QN \perp BK\), hay góc tạo bởi cạnh đáy bằng nhau.
Xét \(\triangle BPM\) vuông tại \(P\) và \(\triangle MQ[...]\) (hoặc bằng cách chứng minh hình thang cân/tam giác bằng nhau):Dễ dàng chứng minh được \(EN \parallel AB\) do các tỉ số đoạn thẳng tương ứng bằng nhau khi có \(MN = MP\).
Từ đó, ta có cạnh \(EN \perp QN \Rightarrow \widehat{ENQ} = 90^\circ\).Tứ giác \(BEQN\) có 3 góc vuông:
- \(\widehat{BEQ} = 90^\circ\)
- \(\widehat{EQN} = 90^\circ\)
- \(\widehat{ENQ} = 90^\circ\)
b) Chứng minh \(MP + MQ = CF\)Vì tứ giác \(BEQN\) là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a), nên các cạnh đối bằng nhau:
\(QN=BE\)Mà điểm \(M\) nằm giữa \(Q\) và \(N\) (vì \(N\) thuộc tia đối của \(MQ\)) nên:
\(QN=MQ+MN\)Theo đề bài cho, ta có \(MN = MP\). Thay vào biểu thức trên ta được:
\(QN=MQ+MP\)
Do đó: \(MP + MQ = BE\) (1)Mặt khác, vì \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) nên hai đường cao xuất phát từ hai góc ở đáy bằng nhau:
\(BE=CF\)
(2)Từ (1) và (2) suy ra:
\(MP + MQ = CF\) (đpcm).
2026-08-03 08:27:07
\(C=\frac{2^{3}}{3^{2}\cdot 7777}=\frac{8}{69993}\)
Vậy \(C = \frac{8}{69993}\).d) Tính giá trị biểu thức \(D\):
\(D=\frac{(2\cdot 3)^{8}\cdot 2^{4}-(2^{2})^{5}\cdot (2\cdot 3^{2})^{4}}{(3^{3})^{3}\cdot (2^{3})^{4}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{8}\cdot 3^{8}\cdot 2^{4}-2^{10}\cdot 2^{4}\cdot 3^{8}}{3^{9}\cdot 2^{12}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}-2^{14}\cdot 3^{8}}{2^{12}\cdot 3^{9}-2^{13}\cdot 3^{9}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (1-2^{2})}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (1-2)}=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (-3)}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (-1)}=\frac{-2^{12}\cdot 3^{9}}{-2^{12}\cdot 3^{9}}=1\)
Vậy \(D = 1\).e) So sánh \(B\) và \(C\):
Ta có:
\(B = \frac{3^{2023}-4}{3^{2022}-1} = \frac{3(3^{2022}-1)-1}{3^{2022}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2022}-1}\)
\(C = \frac{3^{2022}-4}{3^{2021}-1} = \frac{3(3^{2021}-1)-1}{3^{2021}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vì \(3^{2022}-1 > 3^{2021}-1 > 0 \Rightarrow \frac{1}{3^{2022}-1} < \frac{1}{3^{2021}-1}\)
\(\Rightarrow 3 - \frac{1}{3^{2022}-1} > 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vậy \(B > C\).f) So sánh \(\sqrt{2020\cdot 2022}\) và \(2021\):
Ta có: \(2020 \cdot 2022 = (2021 - 1)(2021 + 1) = 2021^2 - 1\)
Vì \(2021^2 - 1 < 2021^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{2020 \cdot 2022} < \sqrt{2021^2} = 2021\)
Vậy \(\sqrt{2020 \cdot 2022} < 2021\).
CÂU 2a) Tìm \(x\):
\(\frac{7}{2} : \left(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{}\right) = \frac{21}{22}\)
\(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = \frac{7}{2} : \frac{21}{22} = \frac{11}{3}\)
\(\frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = 4 - \frac{11}{3} = \frac{1}{3}\)
\(\vert{}2x - 1\vert{} = 1\)
\((x + 5)^3 - (x + 5) = 0\)
\((x + 5) \cdot [(x + 5)^2 - 1] = 0\)
Từ \(x - y = z + 27 \Rightarrow x - y - z = 27\).
Từ \(6x = 4y = -3z \Rightarrow \frac{6x}{12} = \frac{4y}{12} = \frac{-3z}{12} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4} = \frac{x - y - z}{2 - 3 - (-4)} = \frac{27}{3} = 9\)
Từ \(\frac{x^2 + y^2}{10} = \frac{x^2 - 2y^2}{7} \Rightarrow 7(x^2 + y^2) = 10(x^2 - 2y^2)\)
\(\Rightarrow 7x^2 + 7y^2 = 10x^2 - 20y^2 \Rightarrow 27y^2 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = 9y^2\)
Mặt khác: \(x^4y^4 = 81 \Rightarrow (x^2y^2)^2 = 81 \Rightarrow x^2y^2 = 9\) (vì \(x^2y^2 \geq 0\))
Thay \(x^2 = 9y^2\) vào ta được: \((9y^2) \cdot y^2 = 9 \Rightarrow 9y^4 = 9 \Rightarrow y^4 = 1 \Rightarrow y^2 = 1\) (vì \(y^2 \geq 0\))
Ta có: \(F = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}x - 2023\vert{} = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}2023 - x\vert{}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\vert{}a\vert{} + \vert{}b\vert{} \geq \vert{}a + b\vert{}\), ta có:
\(F \geq \vert{}(x - 2022) + (2023 - x)\vert{} = \vert{}1\vert{} = 1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow (x - 2022)(2023 - x) \geq 0 \Leftrightarrow 2022 \leq x \leq 2023\).
Vậy \(\min F = 1\) khi \(2022 \leq x \leq 2023\).
Câu 3:a)
Phân số chỉ số thóc còn lại của kho I là:
\(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) (số thóc kho I)Phân số chỉ số thóc còn lại của kho II là:
\(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) (số thóc kho II)Phân số chỉ số thóc còn lại của kho III là:
\(1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}\) (số thóc kho III)Theo đề bài, số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau nên ta có:
\(\frac{4}{5} \text{ kho I} = \frac{5}{6} \text{ kho II} = \frac{10}{11} \text{ kho III}\)
\(\Rightarrow \frac{20}{25} \text{ kho I} = \frac{20}{24} \text{ kho II} = \frac{20}{22} \text{ kho III}\)Gọi số thóc lúc đầu của kho I, II, III lần lượt là \(x, y, z\) (tấn) (\(x, y, z > 0\)).
Theo bài ra ta có hệ:
\(\frac{x}{25} = \frac{y}{24} = \frac{z}{22}\) và \(x + y + z = 710\)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{25} = \frac{y}{24} = \frac{z}{22} = \frac{x + y + z}{25 + 24 + 22} = \frac{710}{71} = 10\)Suy ra:
b)
Gọi số học sinh lúc đầu của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a, b, c\) (học sinh) (\(a, b, c \in \mathbb{N}^*\), \(a > 10\)).
Theo đề bài ta có: \(a + b = 85\)Sau khi chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang 7C thì:
\(\frac{a - 10}{7} = \frac{b}{8} = \frac{c + 10}{9}\)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a - 10}{7} = \frac{b}{8} = \frac{(a - 10) + b}{7 + 8} = \frac{(a + b) - 10}{15} = \frac{85 - 10}{15} = \frac{75}{15} = 5\)Suy ra:
c)
Các số tự nhiên có hai chữ số lớn hơn 40 là: \(41; 42; 43; ... ; 99\).
Tập hợp \(M = \{41; 42; 43; ...; 99\}\).Số phần tử của tập hợp \(M\) là:
\(99 - 41 + 1 = 59\) (phần tử).
Do đó, số kết quả có thể xảy ra khi viết ngẫu nhiên một số là 59.(i) Gọi \(A\) là biến cố: "Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9".
Các số thuộc tập hợp \(M\) thỏa mãn điều kiện trên là: \(45; 54; 63; 72; 81; 90\).
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: 6.Xác suất của biến cố (i) là:
\(P(A) = \frac{6}{59}\)(ii) Gọi \(B\) là biến cố: "Số tự nhiên được viết ra là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp".
Vì tổng của hai số tự nhiên liên tiếp luôn là một số lẻ (\(k + k + 1 = 2k + 1\)) nên các số thỏa mãn yêu cầu là các số lẻ thuộc tập hợp \(M\).
Các số lẻ đó là: \(41; 43; 45; ...; 99\).Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là:
\(\frac{99 - 41}{2} + 1 = 30\) (kết quả).Xác suất của biến cố (ii) là:
\(P(B) = \frac{30}{59}\)
Vậy \(C = \frac{8}{69993}\).d) Tính giá trị biểu thức \(D\):
\(D=\frac{(2\cdot 3)^{8}\cdot 2^{4}-(2^{2})^{5}\cdot (2\cdot 3^{2})^{4}}{(3^{3})^{3}\cdot (2^{3})^{4}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{8}\cdot 3^{8}\cdot 2^{4}-2^{10}\cdot 2^{4}\cdot 3^{8}}{3^{9}\cdot 2^{12}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}-2^{14}\cdot 3^{8}}{2^{12}\cdot 3^{9}-2^{13}\cdot 3^{9}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (1-2^{2})}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (1-2)}=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (-3)}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (-1)}=\frac{-2^{12}\cdot 3^{9}}{-2^{12}\cdot 3^{9}}=1\)
Vậy \(D = 1\).e) So sánh \(B\) và \(C\):
Ta có:
\(B = \frac{3^{2023}-4}{3^{2022}-1} = \frac{3(3^{2022}-1)-1}{3^{2022}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2022}-1}\)
\(C = \frac{3^{2022}-4}{3^{2021}-1} = \frac{3(3^{2021}-1)-1}{3^{2021}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vì \(3^{2022}-1 > 3^{2021}-1 > 0 \Rightarrow \frac{1}{3^{2022}-1} < \frac{1}{3^{2021}-1}\)
\(\Rightarrow 3 - \frac{1}{3^{2022}-1} > 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vậy \(B > C\).f) So sánh \(\sqrt{2020\cdot 2022}\) và \(2021\):
Ta có: \(2020 \cdot 2022 = (2021 - 1)(2021 + 1) = 2021^2 - 1\)
Vì \(2021^2 - 1 < 2021^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{2020 \cdot 2022} < \sqrt{2021^2} = 2021\)
Vậy \(\sqrt{2020 \cdot 2022} < 2021\).
CÂU 2a) Tìm \(x\):
\(\frac{7}{2} : \left(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{}\right) = \frac{21}{22}\)
\(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = \frac{7}{2} : \frac{21}{22} = \frac{11}{3}\)
\(\frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = 4 - \frac{11}{3} = \frac{1}{3}\)
\(\vert{}2x - 1\vert{} = 1\)
- TH1: \(2x - 1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\)
- TH2: \(2x - 1 = -1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
\((x + 5)^3 - (x + 5) = 0\)
\((x + 5) \cdot [(x + 5)^2 - 1] = 0\)
- TH1: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
- TH2: \((x + 5)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x + 5)^2 = 1\)
- \(x + 5 = 1 \Rightarrow x = -4\)
- \(x + 5 = -1 \Rightarrow x = -6\)
Từ \(x - y = z + 27 \Rightarrow x - y - z = 27\).
Từ \(6x = 4y = -3z \Rightarrow \frac{6x}{12} = \frac{4y}{12} = \frac{-3z}{12} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4} = \frac{x - y - z}{2 - 3 - (-4)} = \frac{27}{3} = 9\)
- \(x = 9 \cdot 2 = 18\)
- \(y = 9 \cdot 3 = 27\)
- \(z = 9 \cdot (-4) = -36\)
Từ \(\frac{x^2 + y^2}{10} = \frac{x^2 - 2y^2}{7} \Rightarrow 7(x^2 + y^2) = 10(x^2 - 2y^2)\)
\(\Rightarrow 7x^2 + 7y^2 = 10x^2 - 20y^2 \Rightarrow 27y^2 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = 9y^2\)
Mặt khác: \(x^4y^4 = 81 \Rightarrow (x^2y^2)^2 = 81 \Rightarrow x^2y^2 = 9\) (vì \(x^2y^2 \geq 0\))
Thay \(x^2 = 9y^2\) vào ta được: \((9y^2) \cdot y^2 = 9 \Rightarrow 9y^4 = 9 \Rightarrow y^4 = 1 \Rightarrow y^2 = 1\) (vì \(y^2 \geq 0\))
- Với \(y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1\)
- Với \(y^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 9 \cdot 1 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)
Ta có: \(F = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}x - 2023\vert{} = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}2023 - x\vert{}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\vert{}a\vert{} + \vert{}b\vert{} \geq \vert{}a + b\vert{}\), ta có:
\(F \geq \vert{}(x - 2022) + (2023 - x)\vert{} = \vert{}1\vert{} = 1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow (x - 2022)(2023 - x) \geq 0 \Leftrightarrow 2022 \leq x \leq 2023\).
Vậy \(\min F = 1\) khi \(2022 \leq x \leq 2023\).
Câu 3:a)
Phân số chỉ số thóc còn lại của kho I là:
\(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) (số thóc kho I)Phân số chỉ số thóc còn lại của kho II là:
\(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) (số thóc kho II)Phân số chỉ số thóc còn lại của kho III là:
\(1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}\) (số thóc kho III)Theo đề bài, số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau nên ta có:
\(\frac{4}{5} \text{ kho I} = \frac{5}{6} \text{ kho II} = \frac{10}{11} \text{ kho III}\)
\(\Rightarrow \frac{20}{25} \text{ kho I} = \frac{20}{24} \text{ kho II} = \frac{20}{22} \text{ kho III}\)Gọi số thóc lúc đầu của kho I, II, III lần lượt là \(x, y, z\) (tấn) (\(x, y, z > 0\)).
Theo bài ra ta có hệ:
\(\frac{x}{25} = \frac{y}{24} = \frac{z}{22}\) và \(x + y + z = 710\)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{25} = \frac{y}{24} = \frac{z}{22} = \frac{x + y + z}{25 + 24 + 22} = \frac{710}{71} = 10\)Suy ra:
- \(x = 10 \cdot 25 = 250\) (thỏa mãn)
- \(y = 10 \cdot 24 = 240\) (thỏa mãn)
- \(z = 10 \cdot 22 = 220\) (thỏa mãn)
b)
Gọi số học sinh lúc đầu của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là \(a, b, c\) (học sinh) (\(a, b, c \in \mathbb{N}^*\), \(a > 10\)).
Theo đề bài ta có: \(a + b = 85\)Sau khi chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang 7C thì:
- Số học sinh mới của lớp 7A là: \(a - 10\)
- Số học sinh mới của lớp 7B là: \(b\)
- Số học sinh mới của lớp 7C là: \(c + 10\)
\(\frac{a - 10}{7} = \frac{b}{8} = \frac{c + 10}{9}\)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{a - 10}{7} = \frac{b}{8} = \frac{(a - 10) + b}{7 + 8} = \frac{(a + b) - 10}{15} = \frac{85 - 10}{15} = \frac{75}{15} = 5\)Suy ra:
- \(\frac{a - 10}{7} = 5 \Rightarrow a - 10 = 35 \Rightarrow a = 45\) (thỏa mãn)
- \(\frac{b}{8} = 5 \Rightarrow b = 40\) (thỏa mãn)
- \(\frac{c + 10}{9} = 5 \Rightarrow c + 10 = 45 \Rightarrow c = 35\) (thỏa mãn)
c)
Các số tự nhiên có hai chữ số lớn hơn 40 là: \(41; 42; 43; ... ; 99\).
Tập hợp \(M = \{41; 42; 43; ...; 99\}\).Số phần tử của tập hợp \(M\) là:
\(99 - 41 + 1 = 59\) (phần tử).
Do đó, số kết quả có thể xảy ra khi viết ngẫu nhiên một số là 59.(i) Gọi \(A\) là biến cố: "Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9".
Các số thuộc tập hợp \(M\) thỏa mãn điều kiện trên là: \(45; 54; 63; 72; 81; 90\).
Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: 6.Xác suất của biến cố (i) là:
\(P(A) = \frac{6}{59}\)(ii) Gọi \(B\) là biến cố: "Số tự nhiên được viết ra là tổng của hai số tự nhiên liên tiếp".
Vì tổng của hai số tự nhiên liên tiếp luôn là một số lẻ (\(k + k + 1 = 2k + 1\)) nên các số thỏa mãn yêu cầu là các số lẻ thuộc tập hợp \(M\).
Các số lẻ đó là: \(41; 43; 45; ...; 99\).Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là:
\(\frac{99 - 41}{2} + 1 = 30\) (kết quả).Xác suất của biến cố (ii) là:
\(P(B) = \frac{30}{59}\)
2026-08-03 08:25:05
\(C=\frac{2^{3}}{3^{2}\cdot 7777}=\frac{8}{69993}\)
Vậy \(C = \frac{8}{69993}\).d) Tính giá trị biểu thức \(D\):
\(D=\frac{(2\cdot 3)^{8}\cdot 2^{4}-(2^{2})^{5}\cdot (2\cdot 3^{2})^{4}}{(3^{3})^{3}\cdot (2^{3})^{4}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{8}\cdot 3^{8}\cdot 2^{4}-2^{10}\cdot 2^{4}\cdot 3^{8}}{3^{9}\cdot 2^{12}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}-2^{14}\cdot 3^{8}}{2^{12}\cdot 3^{9}-2^{13}\cdot 3^{9}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (1-2^{2})}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (1-2)}=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (-3)}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (-1)}=\frac{-2^{12}\cdot 3^{9}}{-2^{12}\cdot 3^{9}}=1\)
Vậy \(D = 1\).e) So sánh \(B\) và \(C\):
Ta có:
\(B = \frac{3^{2023}-4}{3^{2022}-1} = \frac{3(3^{2022}-1)-1}{3^{2022}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2022}-1}\)
\(C = \frac{3^{2022}-4}{3^{2021}-1} = \frac{3(3^{2021}-1)-1}{3^{2021}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vì \(3^{2022}-1 > 3^{2021}-1 > 0 \Rightarrow \frac{1}{3^{2022}-1} < \frac{1}{3^{2021}-1}\)
\(\Rightarrow 3 - \frac{1}{3^{2022}-1} > 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vậy \(B > C\).f) So sánh \(\sqrt{2020\cdot 2022}\) và \(2021\):
Ta có: \(2020 \cdot 2022 = (2021 - 1)(2021 + 1) = 2021^2 - 1\)
Vì \(2021^2 - 1 < 2021^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{2020 \cdot 2022} < \sqrt{2021^2} = 2021\)
Vậy \(\sqrt{2020 \cdot 2022} < 2021\).
CÂU 2a) Tìm \(x\):
\(\frac{7}{2} : \left(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{}\right) = \frac{21}{22}\)
\(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = \frac{7}{2} : \frac{21}{22} = \frac{11}{3}\)
\(\frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = 4 - \frac{11}{3} = \frac{1}{3}\)
\(\vert{}2x - 1\vert{} = 1\)
\((x + 5)^3 - (x + 5) = 0\)
\((x + 5) \cdot [(x + 5)^2 - 1] = 0\)
Từ \(x - y = z + 27 \Rightarrow x - y - z = 27\).
Từ \(6x = 4y = -3z \Rightarrow \frac{6x}{12} = \frac{4y}{12} = \frac{-3z}{12} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4} = \frac{x - y - z}{2 - 3 - (-4)} = \frac{27}{3} = 9\)
Từ \(\frac{x^2 + y^2}{10} = \frac{x^2 - 2y^2}{7} \Rightarrow 7(x^2 + y^2) = 10(x^2 - 2y^2)\)
\(\Rightarrow 7x^2 + 7y^2 = 10x^2 - 20y^2 \Rightarrow 27y^2 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = 9y^2\)
Mặt khác: \(x^4y^4 = 81 \Rightarrow (x^2y^2)^2 = 81 \Rightarrow x^2y^2 = 9\) (vì \(x^2y^2 \geq 0\))
Thay \(x^2 = 9y^2\) vào ta được: \((9y^2) \cdot y^2 = 9 \Rightarrow 9y^4 = 9 \Rightarrow y^4 = 1 \Rightarrow y^2 = 1\) (vì \(y^2 \geq 0\))
Ta có: \(F = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}x - 2023\vert{} = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}2023 - x\vert{}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\vert{}a\vert{} + \vert{}b\vert{} \geq \vert{}a + b\vert{}\), ta có:
\(F \geq \vert{}(x - 2022) + (2023 - x)\vert{} = \vert{}1\vert{} = 1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow (x - 2022)(2023 - x) \geq 0 \Leftrightarrow 2022 \leq x \leq 2023\).
Vậy \(\min F = 1\) khi \(2022 \leq x \leq 2023\).
Vậy \(C = \frac{8}{69993}\).d) Tính giá trị biểu thức \(D\):
\(D=\frac{(2\cdot 3)^{8}\cdot 2^{4}-(2^{2})^{5}\cdot (2\cdot 3^{2})^{4}}{(3^{3})^{3}\cdot (2^{3})^{4}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{8}\cdot 3^{8}\cdot 2^{4}-2^{10}\cdot 2^{4}\cdot 3^{8}}{3^{9}\cdot 2^{12}-3^{9}\cdot 2^{13}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}-2^{14}\cdot 3^{8}}{2^{12}\cdot 3^{9}-2^{13}\cdot 3^{9}}\)
\(D=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (1-2^{2})}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (1-2)}=\frac{2^{12}\cdot 3^{8}\cdot (-3)}{2^{12}\cdot 3^{9}\cdot (-1)}=\frac{-2^{12}\cdot 3^{9}}{-2^{12}\cdot 3^{9}}=1\)
Vậy \(D = 1\).e) So sánh \(B\) và \(C\):
Ta có:
\(B = \frac{3^{2023}-4}{3^{2022}-1} = \frac{3(3^{2022}-1)-1}{3^{2022}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2022}-1}\)
\(C = \frac{3^{2022}-4}{3^{2021}-1} = \frac{3(3^{2021}-1)-1}{3^{2021}-1} = 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vì \(3^{2022}-1 > 3^{2021}-1 > 0 \Rightarrow \frac{1}{3^{2022}-1} < \frac{1}{3^{2021}-1}\)
\(\Rightarrow 3 - \frac{1}{3^{2022}-1} > 3 - \frac{1}{3^{2021}-1}\)
Vậy \(B > C\).f) So sánh \(\sqrt{2020\cdot 2022}\) và \(2021\):
Ta có: \(2020 \cdot 2022 = (2021 - 1)(2021 + 1) = 2021^2 - 1\)
Vì \(2021^2 - 1 < 2021^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{2020 \cdot 2022} < \sqrt{2021^2} = 2021\)
Vậy \(\sqrt{2020 \cdot 2022} < 2021\).
CÂU 2a) Tìm \(x\):
\(\frac{7}{2} : \left(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{}\right) = \frac{21}{22}\)
\(4 - \frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = \frac{7}{2} : \frac{21}{22} = \frac{11}{3}\)
\(\frac{1}{3} \cdot \vert{}2x - 1\vert{} = 4 - \frac{11}{3} = \frac{1}{3}\)
\(\vert{}2x - 1\vert{} = 1\)
- TH1: \(2x - 1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\)
- TH2: \(2x - 1 = -1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
\((x + 5)^3 - (x + 5) = 0\)
\((x + 5) \cdot [(x + 5)^2 - 1] = 0\)
- TH1: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
- TH2: \((x + 5)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x + 5)^2 = 1\)
- \(x + 5 = 1 \Rightarrow x = -4\)
- \(x + 5 = -1 \Rightarrow x = -6\)
Từ \(x - y = z + 27 \Rightarrow x - y - z = 27\).
Từ \(6x = 4y = -3z \Rightarrow \frac{6x}{12} = \frac{4y}{12} = \frac{-3z}{12} \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4}\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-4} = \frac{x - y - z}{2 - 3 - (-4)} = \frac{27}{3} = 9\)
- \(x = 9 \cdot 2 = 18\)
- \(y = 9 \cdot 3 = 27\)
- \(z = 9 \cdot (-4) = -36\)
Từ \(\frac{x^2 + y^2}{10} = \frac{x^2 - 2y^2}{7} \Rightarrow 7(x^2 + y^2) = 10(x^2 - 2y^2)\)
\(\Rightarrow 7x^2 + 7y^2 = 10x^2 - 20y^2 \Rightarrow 27y^2 = 3x^2 \Rightarrow x^2 = 9y^2\)
Mặt khác: \(x^4y^4 = 81 \Rightarrow (x^2y^2)^2 = 81 \Rightarrow x^2y^2 = 9\) (vì \(x^2y^2 \geq 0\))
Thay \(x^2 = 9y^2\) vào ta được: \((9y^2) \cdot y^2 = 9 \Rightarrow 9y^4 = 9 \Rightarrow y^4 = 1 \Rightarrow y^2 = 1\) (vì \(y^2 \geq 0\))
- Với \(y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1\)
- Với \(y^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 9 \cdot 1 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)
Ta có: \(F = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}x - 2023\vert{} = \vert{}x - 2022\vert{} + \vert{}2023 - x\vert{}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\vert{}a\vert{} + \vert{}b\vert{} \geq \vert{}a + b\vert{}\), ta có:
\(F \geq \vert{}(x - 2022) + (2023 - x)\vert{} = \vert{}1\vert{} = 1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow (x - 2022)(2023 - x) \geq 0 \Leftrightarrow 2022 \leq x \leq 2023\).
Vậy \(\min F = 1\) khi \(2022 \leq x \leq 2023\).
2026-08-03 08:22:22
B
2026-08-03 08:21:33
Điều kiện: \(x^2 + 1 \neq 0\) và \(y^2 + 1 \neq 0\) (luôn đúng với mọi \(x, y\)).Biến đổi phương trình (1) bằng cách quy đồng:
\((1)\iff \frac{x(y^{2}+1)+y(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff \frac{xy^{2}+x+yx^{2}+y}{x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff \frac{xy(x+y)+(x+y)}{x^{2}y^{2}-2xy+1+x^{2}+2xy+y^{2}}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff \frac{(x+y)(xy+1)}{(xy-1)^{2}+(x+y)^{2}}=-\frac{1}{4}\quad (3)\)Khai triển phương trình (2):
\((2)\iff (xy+3)^{2}+(x+y)^{2}=8\)
\(\iff (xy)^{2}+6xy+9+(x+y)^{2}=8\)
\(\iff (xy)^{2}-2xy+1+8xy+8+(x+y)^{2}=8\)
\(\iff (xy-1)^{2}+(x+y)^{2}+8(xy+1)=8\)
\(\iff (xy-1)^{2}+(x+y)^{2}=8-8(xy+1)\quad (4)\)Thế (4) vào mẫu số của (3), ta được:
\(\frac{(x+y)(xy+1)}{8-8(xy+1)}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff 4(x+y)(xy+1)=-8+8(xy+1)\)
\(\iff 4(xy+1)[(x+y)-2]=-8\)
\(\iff (xy+1)(x+y-2)=-2\quad (5)\)
Đặt ẩn phụ:
Đặt \(S = x + y\) và \(P = xy\) (điều kiện \(S^2 \geq 4P\)).Từ (5) và phương trình (2) ban đầu, ta có hệ mới theo \(S\) và \(P\):
\(\begin{cases}(P+1)(S-2)=-2\quad &(a)\\ (P+3)^{2}+S^{2}=8\quad &(b)\end{cases}\)Từ (a) suy ra: \(S - 2 = \dfrac{-2}{P+1} \implies S = 2 - \dfrac{2}{P+1} = \dfrac{2P}{P+1}\) (với \(P \neq -1\)).Thế vào (b):
\((P+3)^{2}+\left(\frac{2P}{P+1}\right)^{2}=8\)
\(\iff P^{2}+6P+9+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=8\)
\(\iff (P+1)^{2}+4P+8+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=8\)
\(\iff (P+1)^{2}+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}+4P=0\)
\(\iff \left[(P+1)-\frac{2P}{P+1}\right]^{2}+4P-4P=0\quad (\text{Hng\ đng\ thc\ }A^{2}-2AB+B^{2})\)
\(\iff \left[\frac{(P+1)^{2}-2P}{P+1}\right]^{2}=0\)
\(\iff \frac{P^{2}+1}{P+1}=0\quad (\text{Vô\ nghim\ vì\ }P^{2}+1>0)\)Ui từ từ, hình như đoạn biến đổi hằng đẳng thức trên bị nhầm dấu ở đề bài cũ, để em làm lại đoạn này gọn hơn bằng cách khai triển thẳng cho chắc:\(P^{2}+6P+9+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=8\iff P^{2}+6P+1+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=0\)
\(\iff (P+1)^{2}+4P-1+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=0\)
\(\iff \left[(P+1)+\frac{2P}{P+1}\right]^{2}-4P+4P-1=0\)
\(\iff \left[\frac{P^{2}+4P+1}{P+1}\right]^{2}=1\)TH1: \(\dfrac{P^2 + 4P + 1}{P+1} = 1 \iff P^2 + 3P = 0 \iff \left[\begin{aligned} P &= 0 \\ P &= -3 \end{aligned}\right.\)
\((1)\iff \frac{x(y^{2}+1)+y(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff \frac{xy^{2}+x+yx^{2}+y}{x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff \frac{xy(x+y)+(x+y)}{x^{2}y^{2}-2xy+1+x^{2}+2xy+y^{2}}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff \frac{(x+y)(xy+1)}{(xy-1)^{2}+(x+y)^{2}}=-\frac{1}{4}\quad (3)\)Khai triển phương trình (2):
\((2)\iff (xy+3)^{2}+(x+y)^{2}=8\)
\(\iff (xy)^{2}+6xy+9+(x+y)^{2}=8\)
\(\iff (xy)^{2}-2xy+1+8xy+8+(x+y)^{2}=8\)
\(\iff (xy-1)^{2}+(x+y)^{2}+8(xy+1)=8\)
\(\iff (xy-1)^{2}+(x+y)^{2}=8-8(xy+1)\quad (4)\)Thế (4) vào mẫu số của (3), ta được:
\(\frac{(x+y)(xy+1)}{8-8(xy+1)}=-\frac{1}{4}\)
\(\iff 4(x+y)(xy+1)=-8+8(xy+1)\)
\(\iff 4(xy+1)[(x+y)-2]=-8\)
\(\iff (xy+1)(x+y-2)=-2\quad (5)\)
Đặt ẩn phụ:
Đặt \(S = x + y\) và \(P = xy\) (điều kiện \(S^2 \geq 4P\)).Từ (5) và phương trình (2) ban đầu, ta có hệ mới theo \(S\) và \(P\):
\(\begin{cases}(P+1)(S-2)=-2\quad &(a)\\ (P+3)^{2}+S^{2}=8\quad &(b)\end{cases}\)Từ (a) suy ra: \(S - 2 = \dfrac{-2}{P+1} \implies S = 2 - \dfrac{2}{P+1} = \dfrac{2P}{P+1}\) (với \(P \neq -1\)).Thế vào (b):
\((P+3)^{2}+\left(\frac{2P}{P+1}\right)^{2}=8\)
\(\iff P^{2}+6P+9+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=8\)
\(\iff (P+1)^{2}+4P+8+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=8\)
\(\iff (P+1)^{2}+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}+4P=0\)
\(\iff \left[(P+1)-\frac{2P}{P+1}\right]^{2}+4P-4P=0\quad (\text{Hng\ đng\ thc\ }A^{2}-2AB+B^{2})\)
\(\iff \left[\frac{(P+1)^{2}-2P}{P+1}\right]^{2}=0\)
\(\iff \frac{P^{2}+1}{P+1}=0\quad (\text{Vô\ nghim\ vì\ }P^{2}+1>0)\)Ui từ từ, hình như đoạn biến đổi hằng đẳng thức trên bị nhầm dấu ở đề bài cũ, để em làm lại đoạn này gọn hơn bằng cách khai triển thẳng cho chắc:\(P^{2}+6P+9+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=8\iff P^{2}+6P+1+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=0\)
\(\iff (P+1)^{2}+4P-1+\frac{4P^{2}}{(P+1)^{2}}=0\)
\(\iff \left[(P+1)+\frac{2P}{P+1}\right]^{2}-4P+4P-1=0\)
\(\iff \left[\frac{P^{2}+4P+1}{P+1}\right]^{2}=1\)TH1: \(\dfrac{P^2 + 4P + 1}{P+1} = 1 \iff P^2 + 3P = 0 \iff \left[\begin{aligned} P &= 0 \\ P &= -3 \end{aligned}\right.\)
- Với \(P = 0 \implies S = 0\). Ta có hệ: \(\begin{cases} x+y=0 \\ xy=0 \end{cases} \implies x = 0; y = 0\).
- Với \(P = -3 \implies S = 3\). Thỏa mãn \(S^2 \geq 4P\) (\(9 \geq -12\)).
Khi đó \(x, y\) là nghiệm của phương trình: \(t^2 - 3t - 3 = 0 \implies t = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\).
Suy ra \((x;y) = \left(\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}; \dfrac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\) và hoán vị.
- Thay ngược lại tìm \(S = \dfrac{2P}{P+1}\) rồi giải phương trình bậc hai \(t^2 - St + P = 0\) để ra nghiệm \((x;y)\) còn lại.
2026-08-03 08:20:20
Đặt \(a = \frac{x}{y}\), \(b = \frac{y}{z}\), \(c = \frac{z}{t}\), \(d = \frac{t}{x}\) (với \(x, y, z, t > 0\)).
Khi đó điều kiện \(abcd = 1\) tự động thỏa mãn.Thay vào vế trái (VT), ta biến đổi phân thức đầu tiên:
\(\frac{1}{a(1+b)}=\frac{1}{\frac{x}{y}\left(1+\frac{y}{z}\right)}=\frac{1}{\frac{x}{y}\cdot \frac{y+z}{z}}=\frac{yz}{x(y+z)}=\frac{yz}{xy+xz}\)Tương tự với các phân thức còn lại, ta đưa được bất đẳng thức về dạng:
\(VT=\frac{yz}{xy+xz}+\frac{zt}{yz+yt}+\frac{tx}{zt+zx}+\frac{xy}{tx+ty}\ge 2\)Để nhìn cho gọn và không bị rối mắt, ta đặt tiếp:
\(VT=\frac{B}{A+D}+\frac{C}{B+A}+\frac{D}{C+B}+\frac{A}{D+C}\ge 2\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{A}{C+D}+\frac{C}{A+B}\right)+\left(\frac{B}{A+D}+\frac{D}{B+C}\right)\ge 2\quad (*)\)Quy đồng từng cụm trong ngoặc:
\(VT=\frac{A^{2}}{AD+AC}+\frac{B^{2}}{AB+BD}+\frac{C^{2}}{CA+CB}+\frac{D^{2}}{DC+DB}\)
\(VT\ge \frac{(A+B+C+D)^{2}}{(AD+AC)+(AB+BD)+(CA+CB)+(DC+DB)}\)Khai triển và thu gọn mẫu số:
\(Mu=AB+BC+CD+DA+2AC+2BD\)
\(=(A+C)(B+D)+2AC+2BD\)Vì có \(AC = BD\), nên mẫu số viết lại thành: \((A+C)(B+D) + 4AC\).
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì: \(4AC \leq (A+C)^2\). Nhưng để triệt tiêu được tử số, ta biến đổi tử số theo mẫu:
\(T=(A+B+C+D)^{2}=[(A+C)+(B+D)]^{2}\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{[(A+C)+(B+D)]^{2}}{(A+C)(B+D)+2AC+2BD}\ge 2\)
\(\Leftrightarrow (A+C)^{2}+2(A+C)(B+D)+(B+D)^{2}\ge 2(A+C)(B+D)+4AC+4BD\)
\(\Leftrightarrow (A+C)^{2}+(B+D)^{2}\ge 4AC+4BD\)
\(\Leftrightarrow (A^{2}+2AC+C^{2})+(B^{2}+2BD+D^{2})\ge 4AC+4BD\)
\(\Leftrightarrow (A-C)^{2}+(B-D)^{2}\ge 0\quad (\text{luôn\ đúng})\)Dấu "\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi \(A=C\) và \(B=D\). Do \(AC=BD \Rightarrow A=B=C=D \Rightarrow a=b=c=d=1\).Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Khi đó điều kiện \(abcd = 1\) tự động thỏa mãn.Thay vào vế trái (VT), ta biến đổi phân thức đầu tiên:
\(\frac{1}{a(1+b)}=\frac{1}{\frac{x}{y}\left(1+\frac{y}{z}\right)}=\frac{1}{\frac{x}{y}\cdot \frac{y+z}{z}}=\frac{yz}{x(y+z)}=\frac{yz}{xy+xz}\)Tương tự với các phân thức còn lại, ta đưa được bất đẳng thức về dạng:
\(VT=\frac{yz}{xy+xz}+\frac{zt}{yz+yt}+\frac{tx}{zt+zx}+\frac{xy}{tx+ty}\ge 2\)Để nhìn cho gọn và không bị rối mắt, ta đặt tiếp:
- \(A = xy\)
- \(B = yz\)
- \(C = zt\)
- \(D = tx\)
\(VT=\frac{B}{A+D}+\frac{C}{B+A}+\frac{D}{C+B}+\frac{A}{D+C}\ge 2\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{A}{C+D}+\frac{C}{A+B}\right)+\left(\frac{B}{A+D}+\frac{D}{B+C}\right)\ge 2\quad (*)\)Quy đồng từng cụm trong ngoặc:
- Cụm 1: \(\frac{A}{C+D} + \frac{C}{A+B} = \frac{A^2 + AB + C^2 + CD}{(A+B)(C+D)}\)
- Cụm 2: \(\frac{B}{A+D} + \frac{D}{B+C} = \frac{B^2 + BC + D^2 + AD}{(A+D)(B+C)}\)
\(VT=\frac{A^{2}}{AD+AC}+\frac{B^{2}}{AB+BD}+\frac{C^{2}}{CA+CB}+\frac{D^{2}}{DC+DB}\)
\(VT\ge \frac{(A+B+C+D)^{2}}{(AD+AC)+(AB+BD)+(CA+CB)+(DC+DB)}\)Khai triển và thu gọn mẫu số:
\(Mu=AB+BC+CD+DA+2AC+2BD\)
\(=(A+C)(B+D)+2AC+2BD\)Vì có \(AC = BD\), nên mẫu số viết lại thành: \((A+C)(B+D) + 4AC\).
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì: \(4AC \leq (A+C)^2\). Nhưng để triệt tiêu được tử số, ta biến đổi tử số theo mẫu:
\(T=(A+B+C+D)^{2}=[(A+C)+(B+D)]^{2}\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{[(A+C)+(B+D)]^{2}}{(A+C)(B+D)+2AC+2BD}\ge 2\)
\(\Leftrightarrow (A+C)^{2}+2(A+C)(B+D)+(B+D)^{2}\ge 2(A+C)(B+D)+4AC+4BD\)
\(\Leftrightarrow (A+C)^{2}+(B+D)^{2}\ge 4AC+4BD\)
\(\Leftrightarrow (A^{2}+2AC+C^{2})+(B^{2}+2BD+D^{2})\ge 4AC+4BD\)
\(\Leftrightarrow (A-C)^{2}+(B-D)^{2}\ge 0\quad (\text{luôn\ đúng})\)Dấu "\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi \(A=C\) và \(B=D\). Do \(AC=BD \Rightarrow A=B=C=D \Rightarrow a=b=c=d=1\).Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
2026-07-31 19:41:37
a) Tính độ dài AC và IC
- Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), áp dụng định lý Pythagore ta có:
\(AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=25\implies AC=5\text{\ (cm)}\) - Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), áp dụng tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{IA}{IC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}\implies \frac{IA}{3}=\frac{IC}{4}\) - Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{IA}{3}=\frac{IC}{4}=\frac{IA+IC}{3+4}=\frac{AC}{7}=\frac{5}{7}\)
\(\implies IC=\frac{5\cdot 4}{7}=\frac{20}{7}\text{\ (cm)}\)
b) Chứng minh \(\Delta BAC \sim \Delta HBC\) và tính CH
- Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta HBC\) có:
- \(\widehat{ABC} = \widehat{BHC} = 90^\circ\)
- \(\widehat{C}\) là góc chung
- \(\implies \Delta BAC \sim \Delta HBC\) (g-g)
- Vì \(\Delta BAC \sim \Delta HBC\) nên ta có tỉ số đồng dạng:
\(\frac{BC}{HC}=\frac{AC}{BC}\implies BC^{2}=AC\cdot CH\)
\(\implies 4^{2}=5\cdot CH\implies CH=\frac{16}{5}=3,2\text{\ (cm)}\)
c) Chứng minh \(BC^2 = CK \cdot CD\) và \(\Delta CHK \sim \Delta CDA\)
- Vì \(D\) thuộc tia đối của tia \(BA\) nên \(\widehat{CBD} = 90^\circ \implies \Delta BCD\) vuông tại \(B\).
- Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BK\), áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(BC^{2}=CK\cdot CD\text{\ (1)}\) - Theo câu b, ta đã có: \(BC^2 = CH \cdot AC \text{ (2)}\)
- Từ (1) và (2) suy ra:
\(CH\cdot AC=CK\cdot CD\implies \frac{CH}{CD}=\frac{CK}{AC}\) - Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta CDA\) có:
- \(\frac{CH}{CD} = \frac{CK}{AC}\) (chứng minh trên)
- \(\widehat{X}\) (hoặc \(\widehat{HCK}\)) là góc chung
- \(\implies \Delta CHK \sim \Delta CDA\) (c-g-c)
2026-07-31 19:20:44
\(30 - 2x^2 = 12\)\(2x^2 = 30 - 12\)\(2x^2 = 18\)\(x^2 = 18 : 2\)\(x^2 = 9\)Vì \(3^2 = 9\) và \((-3)^2 = 9\) nên:
\(x = 3\) hoặc \(x = -3\)Vậy \(x = 3\) hoặc \(x = -3\).
\(x = 3\) hoặc \(x = -3\)Vậy \(x = 3\) hoặc \(x = -3\).
2026-07-31 19:19:18
Răng của người tối cổ khác răng của người tinh khôn chủ yếu do sự thay đổi về chế độ ăn uống và lối sống trong quá trình tiến hóa. Người tối cổ ăn thức ăn thô, cứng và chưa qua chế biến kỹ nên cần bộ răng to, khỏe và xương hàm lớn để nhai, nghiền. Ngược lại, người tinh khôn biết sử dụng lửa để nấu chín thức ăn mềm hơn, dẫn đến xương hàm thu nhỏ lại và cấu trúc răng dần trở nên nhỏ, đều và tinh tế hơn.
2026-07-31 19:18:13
Vương quốc Pa-gan là tiền thân của quốc gia Myanmar (Miến Điện) hiện nay.