• Cạnh đối của góc \(\alpha \) là \(AC\).
• Cạnh kề của góc \(\alpha \) là \(AB\).
• Cạnh huyền là \(BC\).

• \(\sin \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \mathbf{\frac{AC}{BC}}\)
• \(\cos \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \mathbf{\frac{AB}{BC}}\)
• \(\tan \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \mathbf{\frac{AC}{AB}}\)
• \(\cot \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \mathbf{\frac{AB}{AC}}\)

• \(A = 2\)
• \(B = 0\)

• Đường thẳng \(xy\) đi qua \(O\).
• \(\widehat{xOz} = 135^\circ\).
• \(\widehat{yOt} = 90^\circ\) và \(\widehat{zOt} = 135^\circ\).
• \(Ov\) là tia phân giác của \(\widehat{xOt}\).
• Hỏi: \(\widehat{xOv}\) và \(\widehat{yOz}\) có đối đỉnh không? Tại sao?

• Ta thấy \(\widehat{xOv} = 45^\circ\) và \(\widehat{yOz} = 45^\circ\) (bằng nhau).
• Cạnh \(Ox\) của \(\widehat{xOv}\) là tia đối của cạnh \(Oy\) của \(\widehat{yOz}\) (vì \(xy\) là đường thẳng).
• Xét vị trí các tia: Vì \(\widehat{xOz} + \widehat{xOv} = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ\), nên \(Oz\) và \(Ov\) là hai tia đối nhau.

• \(\frac{2}{1} < \frac{3}{2}\) (không áp dụng được vì làm \(A^{2}\) nhỏ đi, ta cần tìm chặn trên).
• Thay vào đó, ta sử dụng: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) cho các thừa số của biểu thức thứ hai nhưng lùi lại một nhịp.

• Chặn trên:
  Vì \(\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{200}{199} < 20\) tương đương với \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{199}{200} > \frac{1}{20}\).
  Điều này luôn đúng vì \(\frac{n-1}{n} > \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n}{n+1} \dots\) (Sử dụng \(S > \frac{1}{2\sqrt{n}}\)). Với \(n=100\), \(S > \frac{1}{20}\) là hiển nhiên.
• Chặn dưới:
  Sử dụng \(S < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}\) hoặc đơn giản hơn là so sánh \(A\) với dãy lệch một đơn vị để thấy \(A^2 > 200\).
  \(A^2 = \frac{2^2}{1 \cdot 1} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 3} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 199} > \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \dots \frac{200^2}{199 \cdot 201} \cdot 201\)
  \(A^2 > 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17\).

Kết luận: Qua các bước đánh giá trung gian, ta có \(14.17 < A < 17.7\), thỏa mãn yêu cầu đề bài.

1. Xét biểu thức phụ \(D\):
   Đặt \(D = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\).
2. So sánh từng thừa số của \(C\) và \(D\):
   Ta thấy với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\):
   \(\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}\)
   Áp dụng vào các thừa số:
   Vì tất cả các thừa số đều dương, ta suy ra: \(C < D\).
3. • \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
   • \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
   • \(\dots \)
   • \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
4. Tính tích \(C \cdot D\):
   \(C\cdot D=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\right)\)
   Rút gọn các tử số và mẫu số giống nhau:
   \(C\cdot D=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \dots \cdot 199\cdot 200}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot \dots \cdot 200\cdot 201}=\frac{1}{201}\)
5. Kết luận:
   Vì \(C < D\) và \(C, D > 0\), ta có:
   \(C^{2}<C\cdot D=\frac{1}{201}\)
   Mà \(\frac{1}{201} < \frac{1}{100}\), nên:
   \(C^{2}<\frac{1}{100}\)
   \(\Rightarrow C<\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}\)

1. So sánh từng thừa số:
   Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n\), luôn có \(\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}\).
   Áp dụng vào biểu thức \(A\) và \(B\):
   Suy ra: \(A < B\)
2. • \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
   • \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
   • ...
   • \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
3. Tính tích \(A \cdot B\):
   \(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)\)
   Khi nhân lại, các số ở tử và mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
   \(A\cdot B=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots 199\cdot 200}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots 200\cdot 201}=\frac{1}{201}\)
4. Chứng minh \(A^2 < \frac{1}{101}\):
   Vì \(A > 0\) và \(A < B\), nên:
   \(A\cdot A<A\cdot B\)
   \(A^{2}<\frac{1}{201}\)Mà \(\frac{1}{201} < \frac{1}{101}\), nên ta có:
   \(A^{2}<\frac{1}{101}\text{\ (Điu\ phi\ chng\ minh)}\)

• \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
• \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
• \(\frac{5}{6} < \frac{6}{7}\)
• ...
• \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)