Question

[Quá đẹp trai 123]

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\overgroup{B}=\alpha\)

a)Viết các tỉ số lượng giác \(\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha\)

b)Chứng minh: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

c)Chứng minh: \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}và\tan\alpha.\cos\alpha=1\)

Answer 1

[🧸♠Vũ điệu Samba ♤]

a,

\(sin ⁡ \alpha = \frac{A C}{B C}\)

\(cos ⁡ \alpha = \frac{A B}{B C}\)

\(tan ⁡ \alpha = \frac{A C}{A B}\)

\(cot ⁡ \alpha = \frac{A B}{A C}\)

b,

\(\left(sin ⁡\right)^{2} \alpha + \left(cos ⁡\right)^{2} \alpha = \left(\left(\right. \frac{A C}{B C} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{A B}{B C} \left.\right)\right)^{2} = \frac{A C^{2} + A B^{2}}{B C^{2}} = \frac{B C^{2}}{B C^{2}} = 1\)

c, không thể chứng minh được, vì

\(tan ⁡ \alpha \cdot cos ⁡ \alpha = \frac{sin ⁡ \alpha}{cos ⁡ \alpha} \cdot cos ⁡ \alpha = sin ⁡ \alpha \neq 1\)

Answer 2

[Nguyễn Tùng Bách]

Dưới đây là lời giải cho các bài toán về tỉ số lượng giác trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(\widehat{B} = \alpha\):a) Viết các tỉ số lượng giác của góc \(\alpha \)Trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

• Cạnh đối của góc \(\alpha \) là \(AC\).
• Cạnh kề của góc \(\alpha \) là \(AB\).
• Cạnh huyền là \(BC\).

Các tỉ số lượng giác của góc \(\alpha \) được xác định như sau:

• \(\sin \alpha = \frac{AC}{BC}\)
• \(\cos \alpha = \frac{AB}{BC}\)
• \(\tan \alpha = \frac{AC}{AB}\)
• \(\cot \alpha = \frac{AB}{AC}\)

b) Chứng minh \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)Dựa vào các tỉ số ở câu a, ta có:
\(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =\left(\frac{AC}{BC}\right)^{2}+\left(\frac{AB}{BC}\right)^{2}=\frac{AC^{2}+AB^{2}}{BC^{2}}\)Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): \(AB^2 + AC^2 = BC^2\).
Thay vào biểu thức trên, ta được:
\(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1\text{\ (đpcm)}\)c) Chứng minh \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) và \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\)

Lưu ý: Trong hình ảnh bạn gửi, biểu thức thứ hai của câu c ghi là \(\tan \alpha \cdot \cos \alpha = 1\). Tuy nhiên, theo tính chất lượng giác cơ bản, hệ thức đúng phải là \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\). Tôi sẽ chứng minh hệ thức đúng này.

1. Chứng minh \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
Ta có:
\(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}\cdot \frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}\)
Mà theo câu a, \(\tan \alpha = \frac{AC}{AB}\). Vậy \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \text{ (đpcm)}\).2. Chứng minh \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\):
Ta có:
\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha =\frac{AC}{AB}\cdot \frac{AB}{AC}=1\text{\ (đpcm)}\)

Answer 3

[Nguyễn Tùng Bách]

Dưới đây là lời giải cho bài toán hình học lớp 9 về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat{B} = \alpha\). Khi đó:

• Cạnh đối của góc \(\alpha \) là \(AC\).
• Cạnh kề của góc \(\alpha \) là \(AB\).
• Cạnh huyền là \(BC\).

a) Viết các tỉ số lượng giác của góc \(\alpha \)Dựa vào định nghĩa các tỉ số lượng giác:

• \(\sin \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \mathbf{\frac{AC}{BC}}\)
• \(\cos \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{huyền}} = \mathbf{\frac{AB}{BC}}\)
• \(\tan \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \mathbf{\frac{AC}{AB}}\)
• \(\cot \alpha = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \mathbf{\frac{AB}{AC}}\)

b) Chứng minh: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)Ta có:
\(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =\left(\frac{AC}{BC}\right)^{2}+\left(\frac{AB}{BC}\right)^{2}=\frac{AC^{2}+AB^{2}}{BC^{2}}\)Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(ABC\) (\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)):
\(\frac{AC^{2}+AB^{2}}{BC^{2}}=\frac{BC^{2}}{BC^{2}}=1\)
Vậy \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) (đpcm).c) Chứng minh: \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) và \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\)(Lưu ý: Đề bài yêu cầu \(\tan \alpha \cdot \cos \alpha = 1\) có thể là lỗi đánh máy, thông thường là \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\). Tuy nhiên, tôi sẽ giải đúng theo các hệ thức lượng giác cơ bản).1. Chứng minh \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}\cdot \frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}\)
Mà \(\tan \alpha = \frac{AC}{AB}\). Vậy \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) (đpcm).2. Chứng minh \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\):
\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha =\frac{AC}{AB}\cdot \frac{AB}{AC}=1\)
Vậy \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\) (đpcm).

Answer 4

[Quoc Tran Anh Le]

Câu a.

Vì tam giác ABC vuông tại A, góc B = α nên

sin α = AC/BC

cos α = AB/BC

tan α = AC/AB

cot α = AB/AC

Câu b.

sin²α + cos²α

= AC²/BC² + AB²/BC²

= (AC² + AB²)/BC²

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB² + AC² = BC²

Suy ra

sin²α + cos²α = BC²/BC² = 1

Câu c.

tan α = AC/AB

Mặt khác

sin α/cos α = (AC/BC) : (AB/BC) = AC/AB

Suy ra

tan α = sin α/cos α

Ta có

tan α . cot α = AC/AB . AB/AC = 1

Answer 5

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABC vuông tại A có

\(\sin a=\sin B=\frac{AC}{BC}\)

\(cos\alpha=cosB=\frac{BA}{BC}\)

\(\tan\alpha=\tan B=\frac{AC}{AB}\)

\(\cot\alpha=\cot B=\frac{AC}{AB}\)

b: \(\sin^2\alpha+cos^2\alpha\)

\(=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2+\left(\frac{AB}{BC}\right)^2\)

\(=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}=1\)

c: \(\tan\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\alpha}{cos\alpha}\)

\(\tan\alpha\cdot\cot\alpha=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AB}{AC}=1\)