Gọi số có hai chữ số là: \(\overline{ab}\)

Số cần tìm có dạng \(\overline{ab}=10a+b\)

Đề bài cho tổng hai chữ số bằng 11 \(\Leftrightarrow\) a+b=11 (1)

Khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được số mới là \(\overline{ba}=10b+a\)

Mà số mới tăng thêm 27 đơn vị so với số ban đầu

\(\Rightarrow\overline{ba}-\overline{ab}=27\)

\(\Rightarrow\left(10b+a\right)-\left(10a+b\right)=27\)

\(\Rightarrow10b+a-10a-b=27\)

\(\Rightarrow\left(10b-b\right)+\left(a-10a\right)=27\)

\(\Rightarrow9b-9a=27\)

\(\Rightarrow b-a=3\) (2)

Từ (1);(2)\(\Rightarrow\begin{cases}a+b=11\\ b-a=3\end{cases}\)

Cộng hai pt với nhau:

\(\left(a+b\right)+\left(b-a\right)=11+3\)

\(\Rightarrow a+b+b-a=14\)

\(\Rightarrow\left(a-a\right)+\left(b+b\right)=14\)

\(\Rightarrow2b=14\Leftrightarrow b=7\left(T/m\right)\)

Thay \(b=7\) vào (1), ta được:

\(a+7=11\Leftrightarrow a=4\left(T/m\right)\)

Vậy số tự nhiên cần tìm là 47

PT1: \(3^{x}=9^{y-1}\)

\(\Rightarrow3^{x}=\left(3^2\right)^{y-1}\)

\(\Rightarrow3^{x}=3^{2\left(y-1\right)}\)

\(\Rightarrow x=2\left(y-1\right)\)

\(\Rightarrow x=2y-2\) (1)

PT2: \(8^{y}=2^{x+8}\)

\(\Rightarrow\left(2^3\right)^{y}=2^{x+8}\)

\(\Rightarrow2^{3y}=2^{x+8}\)

\(\Rightarrow3y=x+8\) (2)

Thay (1) vào (2) vế theo vế, ta được:

\(3y=\left(2y-2\right)+8\)

\(\Rightarrow3y=2y+6\)

\(\Rightarrow3y-2y=6\)

\(\Rightarrow y=6\)

Thay \(y=6\) vào (1), ta được:

\(x=2\cdot6-2=12-2=10\)

Vậy \(\left(x,y\right)=\left(10,6\right)\)

\(m^2x+2=m-x\Leftrightarrow\left(m^2+1\right)x=m-2\)

Mà \(m^2+1>0\forall m\) nên pt có nghiệm duy nhất

\(\Rightarrow x=\dfrac{m-2}{m^2+1}\)

Để pt có nghiệm dương thì \(x>0\)

\(\dfrac{m-2}{m^2+1}>0\Leftrightarrow m-2>0\Leftrightarrow m>2\)

Do đó: \(m>2\)

Để \(\left(x^4+4\right)\vdots\left(x^2+ax+b\right)\) thì \(R\left(x\right)=0\forall x\)

\(\Rightarrow\begin{cases}2ab-a^3=0\left(1\right)\\ 4-a^2b+b^2=0\left(2\right)\end{cases}\)

Từ (1) \(\Leftrightarrow\) \(a\left(2b-a^2\right)=0\)

Xét TH1: a=0

Thay vào (2) có \(4+b^2=0\) (vô nghiệm)

Xét TH2: \(a^2=2b\)

Thay \(a^2=2b\) vào (2) có:

\(4-\left(2b\right)b+b^2=0\Leftrightarrow4-b^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}b=2\\ b=-2\end{array}\right.\)

Với \(b=-2\Rightarrow a^2=2\left(-2\right)=-4\) (loại)

Với \(b=2\Rightarrow a^2=2\cdot2=4\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=2\\ a=-2\end{array}\right.\)

Do vậy: \(\left(a,b\right)=\left(\pm2,2\right)\)

Đàn trâu và đàn bò có tất cả số con là:

8 + 9 = 17 (con)

Đáp số: 17 con

a) \(x^2-y^2+10yz-25z^2\)

\(=x^2-\left(y^2-10yz+25z^2\right)\)

\(=x^2-\left(y-5z\right)^2\)

\(=\left\lbrack x-\left(y-5z\right)\right\rbrack\left\lbrack x+\left(y-5z\right)\right\rbrack\)

\(=\left(x-y-5z\right)\left(x+y-5x\right)\)

b) \(x^2-x-y^2+y\)

\(=\left(x^2-y^2\right)-\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y-1\right)\)

\(12^2+1^9=12\cdot12+1=144+1=145\)

\(x^{1092}=x\)

\(\Rightarrow x^{1092}-x=0\)

\(\Rightarrow x\left(x^{1091}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^{1091}-1=0\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^{1091}=1\end{array}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}\right.\right.\right.\)

Do đó: \(x\in\left\lbrace0;1\right\rbrace\)

Để \(\dfrac{x-2}{x^2+1}\) nhận giá trị nguyên với \(x\in\Z\) thì:

\(\left(x-2\right)\vdots\left(x^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)\vdots\left(x^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^2-4\right)\vdots\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1-5\right)\vdots\left(x^2+1\right)\)

\(\Rightarrow5\vdots\left(x^2+1\right)\) (Tính chất chia hết của một hiệu)

Do vậy: \(\left(x^2+1\right)\inƯ\left(5\right)\)

Mà x là số nguyên nên \(x^2\ge0\Rightarrow x^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\in\left\lbrace1;5\right\rbrace\)

Nên ta có hai trường hợp:

Xét TH1: \(x^2+1=1\Leftrightarrow x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

Xét TH2: \(x^2+1=5\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\left[\begin{array}{l}2\\ -2\end{array}\right.\)

Với \(x=0\) thì \(\dfrac{0-2}{0^2+1}=-2\) (tm)

Với \(x=2\) thì \(\dfrac{2-2}{2^2+1}=\dfrac05=0\) (tm)

Với \(x=-2\) thì \(\dfrac{-2-2}{\left(-2\right)^2+1}=\dfrac{-4}{5}\) (loại)

Vậy các số nguyên x thỏa mãn đề bài là \(x=\left[\begin{array}{l}0\\ 2\end{array}\right.\)

a) BM,CN là đường trung tuyến

=> N là trung điểm của AB <=> NB=\(\dfrac12\)AB

=> M là trung điểm của AC <=> MC=\(\dfrac12\)AC

Mà ∆ABC cân tại A

=> góc NBC = góc MCB (hai góc ở đáy)

=> AB=AC => NB=MC

Xét ∆NCB và ∆MCB, có:

NB=MC (cmt)

góc NBC = góc MCB (cmt)

BC là cạnh chung

=> ∆NCB=∆MCB (c.g.c)

b) Do ∆NCB=∆MCB (cmt)

=> góc BNC = góc CMB