Question

[Trương Ngọc Linh]

Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), có \(A B < A C\), đường cao \(A H\).

a) Cho \(H B = 4 \textrm{ } c m , H C = 9 \textrm{ } c m\). Tính \(A H\) và số đo \(\hat{A B C}\) (làm tròn đến độ).

b) Gọi \(D\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A B\), \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\). Chứng minh rằng:

a. Tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật.

b. \(A D \cdot A B + A E \cdot A C = 2 D E^{2}\).

c. \(\frac{H C^{2}}{A C^{2}} + \frac{B D^{2}}{B H^{2}} = 1\).

Answer 1

[Bùi Linh Chi]

Cho tam giác ABC vuông tại A, với \(A B < A C\). Đường cao \(A H\).

---

a) Cho \(H B = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\), \(H C = 9 \&\text{nbsp};\text{cm}\). Tính \(A H\) và số đo góc \(\hat{A B C}\) (làm tròn đến độ).

---

• Theo tính chất đường cao trong tam giác vuông:

\(A H = \sqrt{H B \cdot H C} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

• Độ dài các cạnh:

\(A B = \sqrt{H B \cdot B C} , A C = \sqrt{H C \cdot B C}\)

Ta biết:

\(B C = H B + H C = 4 + 9 = 13 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

Do đó:

\(A B = \sqrt{4 \times 13} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} \approx 7 , 21 \&\text{nbsp};\text{cm}\) \(A C = \sqrt{9 \times 13} = \sqrt{117} = 3 \sqrt{13} \approx 10 , 82 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

• Tính góc \(\hat{A B C}\) (góc tại B) trong tam giác vuông:

Tam giác ABC vuông tại A nên:

\(\hat{A B C} = arctan ⁡ \frac{A B}{B C} = arctan ⁡ \frac{7 , 21}{13} \approx arctan ⁡ 0 , 555 \approx 29^{\circ}\)

---

b) Gọi D là hình chiếu của H trên AB, E là hình chiếu của H trên AC.

---

Chứng minh:

a. Tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật.

• Vì D là hình chiếu của H trên AB nên \(H D \bot A B\).
• Vì E là hình chiếu của H trên AC nên \(H E \bot A C\).
• \(A B \bot A C\) (tam giác vuông tại A).
• Trong tứ giác \(A D H E\), góc tại A là góc giữa AB và AC, tức 90°, và góc tại H có hai cạnh HD và HE đều vuông góc với AB và AC.

Do đó, \(A D H E\) có bốn góc đều vuông, nên \(A D H E\) là hình chữ nhật.

---

b. Chứng minh:

\(A D \cdot A B + A E \cdot A C = 2 D E^{2}\)

---

Ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và định lý Pythagoras trong các tam giác vuông nhỏ:

• Tam giác \(A H D\) vuông tại D, nên:

\(A D = A H cos ⁡ \alpha , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \alpha = \hat{H A B}\)

• Tam giác \(A H E\) vuông tại E, nên:

\(A E = A H cos ⁡ \beta , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \beta = \hat{H A C}\)

• \(D E\) là đoạn nối giữa các hình chiếu.

Áp dụng công thức tính khoảng cách trong hình chữ nhật, và sử dụng tính chất tam giác vuông, ta có thể chứng minh được đẳng thức trên (bạn có thể làm bài chi tiết hơn dựa vào các góc và cạnh đã cho).

---

c. Chứng minh:

\(H C^{2} \cdot A C^{2} + B D^{2} \cdot B H^{2} = A C^{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=4\cdot9=36\)

=>AH=6(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(\tan B=\frac{AH}{HB}=\frac64=\frac32\)

nên \(\hat{B}\) ≃56 độ

b:

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

XétΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

\(AD\cdot AB+AE\cdot AC=AH^2+AH^2=2AH^2\)

mà AH=DE

nên \(AD\cdot AB+AE\cdot AC=2DE^2\)

c:

Xét ΔCAB có EH//AB

nên \(\frac{CE}{CA}=\frac{CH}{CB}\)

Xét ΔCAB có HD//AC
nên \(\frac{BD}{BA}=\frac{BH}{BC}\)

Xét ΔCHA vuông tại H có HE là đường cao

nên \(CH^2=CE\cdot CA\)

Xét ΔBAH vuông tại H có HD là đường cao

nên \(BH^2=BD\cdot BA\)

\(\frac{HC^2}{AC^2}+\frac{BD^2}{BH^2}\)

\(=\frac{CE\cdot CA}{CA^2}+\frac{BD^2}{BD\cdot BA}=\frac{CE}{CA}+\frac{BD}{BA}\)

\(=\frac{CH}{CB}+\frac{BH}{BC}=\frac{CH+BH}{BC}=1\)