Question

[Dương Hoàng Mai Phương]

Tìm số nguyên dương n để các phép chia sau là phép chia hết:
( \(\left(x^6y^{2n-6}+2x^{3n}y^{18-2n}\right):\left(\frac12x^2y^4\right)\) )

Answer 1

[Nguyễn Quốc Đạt]

Ta có $\left(x^6y^{2n-6}+2x^{3n}y^{18-2n}\right):\left(\dfrac12x^2y^4\right)$

$=2x^{6-2}y^{2n-6-4}+4x^{3n-2}y^{18-2n-4}$

$=2x^4y^{2n-10}+4x^{3n-2}y^{14-2n}.$

Để phép chia là phép chia hết thì các số mũ của $y$ phải không âm:

$2n-10\ge0,$

$14-2n\ge0.$

Suy ra $n\ge5,$$n\le7.$

Vậy $n\in\{5;6;7\}.$

Answer 2

[Nguyễn văn Việt]

Ta có:

\(\left(\right. x^{6} y^{2 n - 6} + 2 x^{3 n} y^{18 - 2 n} \left.\right) : \left(\right. \frac{1}{2} x^{2} y^{4} \left.\right)\)

Để phép chia là phép chia hết, thì mỗi hạng tử của đa thức ở tử phải chia hết cho \(\frac{1}{2} x^{2} y^{4}\).

Xét hạng tử 1:

\(x^{6} y^{2 n - 6} : \frac{1}{2} x^{2} y^{4} = 2 x^{6 - 2} y^{\left(\right. 2 n - 6 \left.\right) - 4} = 2 x^{4} y^{2 n - 10}\)

Muốn là đơn thức thì:

\(2 n - 10 \geq 0 \Rightarrow n \geq 5.\)

Xét hạng tử 2:

\(2 x^{3 n} y^{18 - 2 n} : \frac{1}{2} x^{2} y^{4} = 4 x^{3 n - 2} y^{14 - 2 n}\)

Muốn là đơn thức thì:

\(3 n - 2 \geq 0 \left(\right. \text{lu} \hat{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; n > 0 \left.\right)\)

và

\(14 - 2 n \geq 0 \Rightarrow n \leq 7.\)

Kết hợp điều kiện:

\(5 \leq n \leq 7.\)

Vì \(n\) là số nguyên dương nên:

\(\boxed{n \in \left{\right. 5 , 6 , 7 \left.\right} .}\)