Question

[Gia Huy To]

cho 3 điểm ABC thuộc O sao cho tam giác ABC đều.Trên cung nhỏ ab lấy m .đường thẳng đi qua a song song vs bm cắt cm tai N a) cm tam giác AMN đều b gọi D là giao điểm AB VÀ CM.CM 1/MA+1/MB=1/MD
ko dùng tứ giác nội tiếp và hệ thức lượng ạ

Answer 1

[Đặng Minh Hoàng]

a




THAM KHẢO
a) Chứng minh $\triangle AMN$ là tam giác đều

1. Xét góc tạo bởi đường thẳng song song:
2. • Do $AN \parallel BM$, hai góc so le trong bằng nhau:$$\widehat{ANM} = \widehat{BMC}$$
3. Xét các góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đường tròn $(O)$:
4. • Trong đường tròn $(O)$, hai góc nội tiếp $\widehat{BMC}$ và $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung nhỏ $BC$. Do đó:$$\widehat{BMC} = \widehat{BAC}$$
   • Mà $\triangle ABC$ đều nên $\widehat{BAC} = 60^\circ$.
   • Suy ra: $\widehat{ANM} = \widehat{BMC} = 60^\circ$.
5. Xét góc nội tiếp chắn cùng một cung khác:
6. • Góc nội tiếp $\widehat{AMN}$ (chính là $\widehat{AMC}$) và góc nội tiếp $\widehat{ABC}$ cùng chắn cung nhỏ $AC$. Do đó:$$\widehat{AMN} = \widehat{ABC} = 60^\circ$$
7. Kết luận:
8. • Tam giác $AMN$ có hai góc $\widehat{ANM} = 60^\circ$ và $\widehat{AMN} = 60^\circ$.
   • Do tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$, góc còn lại $\widehat{NAM} = 60^\circ$.
   • Vậy $\triangle AMN$ là tam giác đều (có $AM = AN = MN$).

---

b) Chứng minh $\dfrac{1}{MA} + \dfrac{1}{MB} = \dfrac{1}{MD}$

1. Chứng minh $NC = MB$:
2. • Ta có $\widehat{AMN} = 60^\circ$ và $\widehat{NMB} = \widehat{AMC} = 60^\circ$.
   • Mặt khác, $AN \parallel BM$ nên hình thang $ANMB$ là hình thang cân (do $\widehat{AMN} = 60^\circ$ và hai đáy $AN \parallel BM$). Suy ra $AM = BN$.
   • Tương tự, xét $\triangle ACN$ và $\triangle BCM$:
   • • $AC = BC$ (do $\triangle ABC$ đều)
     • $AN = AM = MN$ (do $\triangle AMN$ đều)
     • $\widehat{CAN} = \widehat{CBM}$ (so le trong và góc đồng dạng)
   • Từ đây dễ dàng suy ra $\triangle ACN = \triangle BMN \text{ (c-g-c)}$ hoặc dùng góc nội tiếp để thấy $NC = MB$.
   • Từ $NC = MB$ và $MN = MA$, ta có:$$MC = MN + NC = MA + MB$$
3. Chứng minh hai tam giác đồng dạng $\triangle MDA \sim \triangle MAC$:
4. • Xét $\triangle MDA$ và $\triangle MAC$:
   • • Góc $\widehat{M}$ chung ($\widehat{DMA} = \widehat{AMC} = 60^\circ$).
     • $\widehat{MAD} = \widehat{MCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$).
   • Suy ra $\triangle MDA \sim \triangle MAC \text{ (g-g)}$.
5. Lập tỉ số đồng dạng:$$\frac{MD}{MA} = \frac{MA}{MC} \implies MA^2 = MD \cdot MC$$
6. Thay $MC = MA + MB$ vào đẳng thức:$$MA^2 = MD \cdot (MA + MB)$$Chia cả hai tế cho $MA \cdot MB \cdot MD$:$$\frac{MA}{MD} = \frac{MA + MB}{MA} = 1 + \frac{MB}{MA}$$Chia cả hai tế của $MA^2 = MD(MA + MB)$ cho $MA \cdot MB \cdot MD$:$$\frac{MA^2}{MA \cdot MB \cdot MD} = \frac{MD(MA + MB)}{MA \cdot MB \cdot MD}$$$$\implies \frac{MA}{MB \cdot MD} = \frac{MA + MB}{MA \cdot MB} = \frac{1}{MB} + \frac{1}{MA}$$Mặt khác từ $\triangle MDA \sim \triangle MAC$ ta cũng có tỉ số với cạnh