sửa đề: CM: \(\frac{a^{}}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac32\) với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3

\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\)

ta lại có \(1+b^2\ge2b\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

=> \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

làm tương tự với các phân thức khác ta có:

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\)

\(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

cộng dọc ta có:

\(P\ge\left(a+b+c\right)-\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{2}\)

=> \(P\ge3-\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{2}\)

ta có bđt phụ \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( anh có cần em CM bđt phụ này luôn ko?)

=> \(3^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(ab+bc+ca\le3\)

=> \(-\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{2}\ge-\frac32\)

=> \(P\ge3-\frac32=\frac32\)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

đề của cậu có vẻ lỗi sửa đề CM: a,b,c>0 thì

a) \(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)

\(\frac{a^3}{b}-\left(a^2+ab-b^2\right)\ge0\)

\(\frac{a^3-b\left(a^2+ab-b^2\right)}{b}\ge0\)

\(\frac{a^3-a^2b-ab^2+b^3}{b}\ge0\)

\(\frac{\left(a^3+b^3\right)-\left(a^2b+ab^2\right)}{b}\ge0\)

\(\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)}{b}\ge0\)

\(\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)}{b}\ge0\)

\(\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{b}\ge0\)

điều này luôn đúng với a,b>0

=> \(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

b) CM: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\)

từ câu a) ta có bđt đúng với mọi số dương

\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\left(1\right)\)

=> \(\frac{b^3}{c}\ge b^2+bc-c^2\left(2\right)\)

\(\frac{c^3}{a}\ge c^2+ca-a^2\left(3\right)\)

cộng (1)(2)(3) lại với nhau

=> \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\left(a^2+ab-b^2\right)+\left(b^2+bc-c^2\right)+\left(c^2+ca-a^2\right)\)

=> \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\left(đpcm\right)\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

nếu \(b\ge4\) khi đó \(c\ge5\)

\(A\le1+\frac24+\frac25+\frac{1}{4\cdot5}=1,95\) ( ko nghiệm do A>1)

TH2: a=2

vì a<b<c => 2<b<c => \(b\ge3;c\ge4\) thay a=2 vào biểu thức A

A=\(\frac12+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{2c}=\frac12+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}+\frac{1}{bc}\)

vì \(b\ge3;c\ge4\)

=> \(A\le\frac12+\frac36+\frac{1}{12}=1,458\)

vì A nguyên dương và \(A\le1,458\) nên A=1

=> \(\frac12+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}+\frac{1}{bc}=1\)

=> \(\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}+\frac{1}{bc}=\frac12\)

\(\frac{\left(3c+3b+2\right)}{2bc}=\frac12\)

=> \(3c+3b+2=bc\)

\(b-3b-3c=2\)

=> \(b\left(c-3\right)-3\left(c-3\right)-9=2\)

=> \(\left(b-3\right)\left(c-3\right)=11\)

vì \(b\ge3\Rightarrow b-3\ge0\) do b<c => b-3 < c-3

=> \(b-3=1;c-3=11\)

=> \(b=4;c=14\) ( TM)

vậy (a;b;c)=(1;3;7);(2;4;14)

vì vai trò các số x,y,z là như nhau ko mất tính tổng quát ta giả sử \(x\le y<z\)

TH1: giả sử x=0

=> \(0=2\left(0+y+z\right)\)

=> \(y+z=0\)

=>(x,y,z)=(0,0,0)

cả ba số đều khác 0( \(x,y,z\ge1\) )

vì \(x\le y\le z\) nên ta có: \(x+y+z\le z+z+z=3z\)

thay vào đề bài :

\(xyz=2\left(x+y+z\right)\le6z\)

vì \(z\ge1\) => \(xy\le6\)

do \(1\le x\le y\) và \(xy\le6\) ta xét các TH

TH1: x=1

=> \(1\cdot y\cdot z=2\left(1+y+z\right)\)

=> \(yz=2+2y+2z\)

\(yz-2y-2z=2\)

\(y\left(z-2\right)-2\left(z-2\right)-4=2\)

\(\left(y-2\right)\left(z-2\right)=6\)

vì \(x\le y\Rightarrow1\le y\Rightarrow y-2\le-1\) do \(y\le z\)

=> \(y-2\le z-2\)

ta lập bảng giá trị của 6

nếu x=2 thay vào phương trình ban đầu:

\(2\cdot y\cdot z=2\left(2+y+z\right)\)

=> \(yz=2+y+z\)

=> \(yz-y-z=2\)

=> \(y\left(z-1\right)-\left(z-1\right)-1=2\)

\(\left(y-1\right)\left(z-1\right)=3\)

ta lại có \(x\le y\Rightarrow2\le y\Rightarrow y-1\ge-1\) do \(y\le z\)

=> \(y-1\le z-1\)

thỏa mãn

nếu \(x\ge3\)

vì \(x\le y\Rightarrow y\ge3\Rightarrow xy\ge9\) (mâu thuẫn với \(xy\le6)\) loại

vậy (x;y;z)=(0,0,0)(1,3,8),(1,4,5)(2,2,4)

bài 3:

ko mất tính tổng quát ta giả sử: \(x\le y\le z\)

nếu có một số bằng 0 thì \(2\left(y+z\right)+9=0\) ( vô trái do luôn lớn hơn 0)

do đó \(x,y,z\ge1\)

vì \(x\le y\le z\Rightarrow x+y+z\le3z\) thay vào đề bài ta có:

\(3xyz=2\left(x+y+z\right)+9\le2\cdot3z+9=6z+9\)

TH1: \(xy\ge3\)

từ \(3xyz\le6z+9\) chia cả hai vế cho z

=> \(3xy\le6+\frac{9}{z}\le6+9=15\Rightarrow xy\le5\)

mặt khác \(xy\ge3\Rightarrow3xyz\ge9z\)

khi đó \(9z\le6z+9\) => \(3z\le9\Rightarrow z\le3\)

vì \(1\le x\le y\le z\le3\) và \(xy\ge3\) ta thử các bộ(x;y;z) có thể

bộ (1;3;3):2(1+3+3)+9=23≠3.1.3.3=27( loại)

bộ (2,2,2):2(2+2+2)+9=21≠3.2.2.2=24(loại)

bộ (2,2,3):2(2+2+3)+9=23≠3.2.2.3=36(loại)

bộ (2,3,3):2(2+3+3)+9=25≠3.2.3.3=54(loại)

bộ (3,3,3):2(3+2+3)+9=27≠3.3.3.3=81(loại)

TH2:\(xy<3\)

vì \(1\le x\le y\) nên xy chỉ có thể bằng 1 hoặc 2

nếu xy=1=> x=1;y=1

\(2\left(1+1+z\right)+9=3\cdot1\cdot1\cdot z\)

\(4+2z+9=3z\)

=> \(z=13\) ( thỏa mãn)

nếu xy=2=> x=1;y=2

\(2\left(1+2+z\right)+9=3\cdot1\cdot2\cdot z\)

=> \(6+2z+9=6z\)

=> \(15=4z\)

=> \(z=\frac{15}{4}\) (loại)

vậy (x;y;z)=(1;1;13)

bài 4:

\(A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

vì vai trò cảu a;b;c là như nhau ta giả sử \(1\le a<b<c\)

do a,b,c là các số nguyên dương nên \(a\ge1,b\ge2,c\ge3\)

nếu \(a\ge3\Rightarrow b\ge4,c\ge5\) khi đó ta có

\(A\le\frac13+\frac14+\frac15+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5}=\frac{59}{60}<1\)

vì A phải là số nguyên dương \(A\ge1\) nên \(a\ge3\) ko có nghiệm

vậy a chỉ có thể nhận 1 hoặc 2

TH1:a=1

vì a<b<c => 1<b<c=> \(b\ge2,c\ge3\) thay a=1 vào biểu thức A

\(A=1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{c}=1+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{bc}\)

nếu b=2 khi đó \(c\ge3\)

A=\(1+\frac22+\frac{2}{c}+\frac{1}{2c}=2+\frac{5}{2c}\)

để A nguyên thì \(\frac{5}{2c}\) phải là số nguyên tuy nhiên vì

\(c\ge3\Rightarrow2c\ge6>5\Rightarrow0<\frac{5}{2c}<1\) ( loại)

nếu b=3 khi đó \(c\ge4\)

A=\(1+\frac23+\frac{2}{c}+\frac{1}{3c}=\frac53+\frac{7}{3c}\)

vì \(c>4\Rightarrow A\le\frac53+\frac{7}{12}=\frac{27}{12}=2,25\)

mà A\(>\frac53=1,67.\ldots\) nên A=2

=> \(\frac53+\frac{7}{3c}=2\Rightarrow\frac{7}{3c}=\frac13\Rightarrow3c=21\Rightarrow c=7\left(TMc>b\right)\)

nếu \(b\ge4\Rightarrow c\ge5\)

\(A\le1+\frac24+\frac25+\frac{1}{4\cdot5}=1,95\) ( vô nghiệm do A>1)

TH2: a=2

với a<b<c => 2<b<c => \(\ge3,c\ge4\) thay a=2 vào A

A=\(\frac12+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{2c}=\frac12+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}+\frac{1}{bc}\)

với \(b\ge3,c\ge4\) ta có:

\(A\le\frac12+\frac36+\frac38+\frac{1}{12}=1,458\)

vì A nguyên dương nên và \(A\le1,458\Rightarrow A=1\)

=> \(\frac12+\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}+\frac{1}{bc}=1\)

=> \(\frac{3}{2b}+\frac{3}{2c}+\frac{1}{bc}=\frac12\)

\(\frac{\left(3c+3b+2\right)}{2bc}=\frac12\)

=> \(3c+3b+2=bc\)

\(bc-3b-3c=2\)

=> \(b\left(c-3\right)-3\left(c-3\right)-9=2\)

=> \(\left(b-3\right)\left(c-3\right)=11\)

vì \(b\ge3\Rightarrow b-3\ge0\) do \(b<c\Rightarrow b-3<c-3\)

=>\(b-3=1\) , \(c-3=11\)

=>b=4,c=14(TM)

vậy (a,b,c)=(1;3;7);(2,4,14)

vì △ABC cân tại A và góc A= 20 độ

=> góc ABC= góc ACB=\(\frac{\left(180^{\circ}-20^{\circ}\right)}{2}=80^{\circ}\)

trong △ABC dựng △BCE đều( E nằm cùng phía với A đối BC)

=> BE=BE=CE

=> góc EBC= góc ECB= góc BEC= 60 độ

ta có:

góc ACE= góc ACB- góc ECB= \(80^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ}\)

góc \(ABE=\) góc ABC- góc EBC=\(80^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ}\)

xét △ABE và △ACE

AB=AC

AE là cạnh chung

BE=CE

=> △ABE=△ACE(c.g.c)

=> góc BAE= góc CAE=góc A/2= \(\frac{20^{\circ}}{2}=10^{\circ}\)

xét △ACE có tổng 3 góc bằng 180 độ :

góc AEC=\(180^{\circ}\) - góc CAE-góc ACE=\(180^{\circ}-10^{\circ}-20^{\circ}=150^{\circ}\)

theo đề bài ta có :

AD=BC và BC=CE

=> AD=CE

xét △ABD và △CAE có:

AB=CA

góc BAD= góc ACE= \(20^{\circ}\)

AD=CE

=> △ABD=△CAE(c.g.c)

=> góc ADB= góc AEC= \(150^{\circ}\)

vì D nằm trên cạnh AC nên góc ADB và góc BDC là hai góc kề bù

=> góc BDC=\(180^{\circ}-\) góc ADB=\(180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}\)

vậy góc BDC=\(30^{\circ}\)

vì KM=\(\frac12KP\) => đoạn thẳng chia ra làm 3 phần bằng nhau

=> \(MK=\frac13MP;KP=\frac23MP\)

vì IM=\(\frac12IN\) nên đoạn thẳng dc chia làm 3 phần bằng nhau

=> \(MI=\frac13MN;IN=\frac23MN\)

xét hai tam giác KNP và MNP

chung NK hạ xuống đáy MP

đáy \(KP=\frac23MP\)

=> \(S_{KNP}=\frac23\) x \(S_{MNP}\)

xét hai tam giác MNK và MNP

chung NK hạ xuống đáy MP

đáy \(MK=\frac13MP\)

=> \(S_{MNK}=\frac13\) x \(S_{MNP}\)

xét hai tam giác IKN và MNK

chung IK hạ xuống đáy MN

đáy \(IN=\frac23MN\)

=> \(S_{IKN}=\frac23\) x \(S_{MNK}\)

=> \(S_{IKN}=\frac23\) x \(\frac13\) x \(S_{MNP}=\frac29\) x \(S_{MNP}\)

tỉ số diện tích giữa tam giác IKN và tam giác KNP là:

\(\frac{S_{IKN}}{S_{KNP}}=\frac29:\frac23=\frac29\) x \(\frac32=\frac39=\frac13\)

kết luận: vậy diện tích tam giác IKN= \(\frac13\) diện tích tam giác KNP

a) đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) => \(a=bk;c=dk\) thay vào hai vế

VT=\(\frac{5bk+3b}{5bk-3b}=\frac{b\left(5k+3\right)}{b\left(5k-3\right)}=\frac{5k+3}{5k-3}\) (1)

thay c=dk vào VP

\(VP=\frac{5dk+3d}{5dk-3d}=\frac{d\left(5k+3\right)}{d\left(5k-3\right)}=\frac{5k+3}{5k-3}\left(2\right)\)

từ(1)(2)=> VT=VP(dpcm)

b) làm tương tự thay a=bk

\(VT=\frac{7\left(bk\right)^2+3\left(bk\right)b}{11\left(bk\right)^2-8b^2}=\frac{7b^2k^2+3b^2k}{11b^2k^2-8b^2}=\frac{b^2\left(7k^2+3k\right)}{b^2\left(11k^2-8\right)}=\frac{7k^2+3k}{11k^2-8}\) (3)

thay c=dk vào VP

\(VP=\frac{7\left(dk\right)^2+3\left(dk\right)d}{11\left(dk\right)^2-8d^2}=\frac{7d^2k^2+3d^2k}{11d^2k^2-8d^2}=\frac{d^2\left(7k^2+3k\right)}{d^2\left(11k^2-8\right)}=\frac{7k^2+3k}{11k^2-8}\) (4)

từ (3)(4)=> VT=VP

bài 2:

\(\frac{3x}{8}=\frac{3y}{64}=\frac{3z}{216}\)

=> \(\frac{x}{8}=\frac{y}{64}=\frac{z}{216}=k\)

=> \(x=8k;y=64k;z=216k\)

thay vào điều kiện

\(\Rightarrow2\left(8k\right)^2+2\left(64k\right)^2+\left(216k\right)^2=1\)

\(2\cdot64k^2+2\cdot4096k^2+46656k^2=1\)

\(128k^2+8192k^2+46656k^2=1\)

\(54976k^2=1\)

\(k=\pm\frac{1}{234}\)

TH1: \(k=\frac{1}{234}\)

=> \(x=8\cdot\frac{1}{234}=\frac{4}{117}\)

\(y=64\cdot\frac{1}{234}=\frac{32}{117}\)

\(z=216\cdot\frac{1}{234}=\frac{12}{13}\)

TH2: \(k=-\frac{1}{234}\)

=> \(x=-\frac{4}{117}\)

\(y=-\frac{32}{117}\)

\(z=-\frac{12}{13}\)

bài 3:

ta có: \(\frac{\left(2x+1\right)}{5}=\frac{\left(4y-5\right)}{9}=\frac{\left(2x+4y-4\right)}{14}\) ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

CM: \(\frac{\left(2x+4y-4\right)}{14}=\frac{\left(2x+4y-4\right)}{7x}\)

TH1: 2x+4y-4=0

=> 2x+1=0

=>x=\(\frac{-1}{2}\) thay vào biểu thức cầm CM trên

=> \(2\left(-\frac12\right)+4y-4=0\)

=> \(y=\frac54\left(TM\right)\)

TH2: 7x=14

=>x=2

thay vào phân số đầu tiên

\(\frac{2\cdot2+1}{5}=\frac55=1\)

=> \(\frac{4y-5}{9}=1\)

=>\(y=\frac72\)

bài 4:

=> \(\left(\frac{a}{a^{,}}+\frac{b^{,}}{b}\right)\cdot\frac{b}{b^{,}}=1\cdot\frac{b}{b^{,}}\)

=> \(\frac{a\cdot b}{a^{,}\cdot b^{^{,}}}+\frac{b^{,}\cdot b}{b\cdot b^{,}}=\frac{b}{b^{,}}\)

=> \(\frac{ab}{a^{,}b^{,}}+1=\frac{b}{b^{,}}\left(5\right)\)

ta có: \(\frac{b}{b^{,}}+\frac{c^{,}}{c}=1\Rightarrow\frac{b}{b^{,}}=1-\frac{c^{,}}{c}\left(6\right)\)

thay (6) vào (5)

=> \(\frac{ab}{a^{,}b^{,}}+1=1-\frac{c^{,}}{c}\)

=> \(\frac{ab}{a^{,}b^{,}}=-\frac{c^{,}}{c}\)

=> abc=\(-a^{,}b^{,}c^{,}\)

=> \(abc+a^{,}b^{,}c^{,}=0\left(đpcm\right)\)

gọi số xe ô tô thuê được là x( xϵ\(Z^{\cdot}\) , đơn vị: xe)

số học sinh toàn trường khi mỗi xe chở 16 em là:

16x+80

số học sinh toàn trường khi mỗi xe chở 30 em là:

30x-80

theo đề bài ta có phương trình:

16x+80=30x-80

30x-16x=80+80

14x=160

x=160:14( xe)

bên mik ra kết quả thế này bạn cx có thể tham khảo ý kiến khác :v

lần đầu tôi nói chuyện

tôi vừa nãy cx nhận tin nhắn cậu bạn này may là tôi từ chối vì tôi chỉ trả lời câu hỏi toán thôi ko có tham gia các hoạt động nào khác ngoài nhận thưởng:v

ta xét hai TH của xy-1

TH1: xy-1=0

=> xy=1

vì x,y là các số nguyên khác 0

=> ta có hai bộ số là: x=1,y=1 và x=-1; y=-1

xét TH x=1;y=1 thay vào biểu thức ta có;

\(\left(1\cdot1-1\right):\left(1^2+1^2\right)=0\) ( thỏa mãn)

xét TH x=-1; y=-1

\(\left(-1\cdot-1-1\right):\left(\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2\right)=0\) ( TM vì 0 luôn chia hết cho 2)

nếu xy-1≠0

ta có một số khi chia hết cho số kia thì giá trị tuyệt đối cx tương ứng

để xy-1⋮\(x^2+y^2\)

=> \(\left\vert xy-1\right\vert\ge\left\vert x^2+y^2\right\vert=x^2+y^2\)

mặt khác ta có: \(x^2+y^2\ge2\left\vert xy\right\vert\)

=> \(\left\vert xy-1\right\vert\ge2\left\vert xy\right\vert\)

nếu x>0

=> \(\left\vert xy-1\right\vert=xy-1\) ( vì \(xy\ge1\) ) thay vào ta dc

\(-1\ge xy\) ( vô lí bới vì xy>0)

nếu xy<0

\(\Rightarrow\left\vert xy-1\right\vert=\left\vert xy\right\vert+1\) ( vì \(xy\le1\) ) thay vào ta dc

\(\left\vert xy\right\vert+1\ge2\left\vert xy\right\vert\)

=> \(1\ge xy\)

vì x,y≠0 và xy<0 nên \(\left\vert xy\right\vert=1\) => xy=-1

ta suy ra hai cặp số: x=-1; y=1 và x=1;y=-1 và chúng đều thỏa mãn biểu thức đã cho

=>\(\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(-1;-1\right);\left(-1;1\right);\left(1;-1\right)\)