Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,\(\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2-1=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-1^2=\left(\frac{a+b}{2}-1\right)\left(\frac{a+b}{2}+1\right)\)
b,\(9\left(x-y\right)^2-4\left(x-y\right)^2=\left(x-y\right)^2\left(9-4\right)=5\left(x-y\right)^2\)
c,\(\left(p-2q\right)^2-4\left(p+q\right)^2=\left(p-2q-2p-2q\right)\left(p-2q+2p+2q\right)\)
\(=\left(-p-4q\right)3p\)
d, \(25p^2m^4-\frac{1}{36}p^4=\left(5pm^2\right)^2-\left(\frac{p^2}{6}\right)^2=\left(5pm-\frac{p^2}{6}\right)\left(5pm+\frac{p^2}{6}\right)\)
a, \(\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2-1=\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\right)^2-1=\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\right)\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+1\right)\)
b, \(9\left(x-y\right)^2-4\left(x-y\right)^2=\left(3x-3y\right)^2-\left(2x-2y\right)^2\)
\(=\left(3x-3y-2x+2y\right)\left(3x-3y+2x-2y\right)=5\left(x-y\right)^2\)
c, \(\left(p-2q\right)^2-4\left(p+q\right)^2=\left(p-2q\right)^2-\left(2p+2q\right)^2\)
\(=\left(p-2q-2p-2q\right)\left(p-2q+2p+2q\right)^2=9p^2\left(-p-4q\right)\)
d, \(25p^2m^4-\frac{1}{36}p^4=\left(5pm^2\right)^2-\left(\frac{1}{6}p^2\right)^2=\left(5pm^2-\frac{1}{6}p^2\right)\left(5pm^2+\frac{1}{6}p^2\right)\)
\(=p^2\left(5m^2-\frac{1}{6}p\right)\left(5m^2+\frac{1}{6}p\right)\)
\(a.\) Với \(a+b+c=0\) thì \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1\)
\(b.\) Công thức tổng quát: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Ta có:
\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
\(\frac{1}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\)
\(\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-4}\)
\(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}=\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\)
Do đó, suy ra được: \(A=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}=\frac{x+5-x}{x\left(x+5\right)}=\frac{5}{x\left(x+5\right)}\)
\(\frac{1}{n}(1+2+\dots +n)=\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}\)Thay vào vế trái (VT), ta có:
\(\text{VT}=\frac{1+1}{2}+\frac{2+1}{2}+\dots +\frac{2026+1}{2}+x\)
\(\text{VT}=\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+\dots +\frac{2027}{2}+x\)
\(\text{VT}=\frac{2+3+\dots +2027}{2}+x\)Tử số là tổng các số từ 2 đến 2027, có tất cả \((2027 - 2) : 1 + 1 = 2026\) số hạng.
\(\text{T\ s}=\frac{(2+2027)\cdot 2026}{2}=2029\cdot 1013=2055377\)
\(\Rightarrow \text{VT}=\frac{2055377}{2}+x=1027688,5+x\)Đặt vế phải là \(B = 9 \cdot 10 + 10 \cdot 11 + \dots + 99 \cdot 100\)
\(3\cdot B=9\cdot 10\cdot 3+10\cdot 11\cdot 3+\dots +99\cdot 100\cdot 3\)
\(3\cdot B=9\cdot 10\cdot (11-8)+10\cdot 11\cdot (12-9)+\dots +99\cdot 100\cdot (101-98)\)
\(3\cdot B=9\cdot 10\cdot 11-8\cdot 9\cdot 10+10\cdot 11\cdot 12-9\cdot 10\cdot 11+\dots +99\cdot 100\cdot 101-98\cdot 99\cdot 100\)
\(3\cdot B=99\cdot 100\cdot 101-8\cdot 9\cdot 10\)
\(3\cdot B=999900-720=999180\)
\(B=999180:3=333060\)Thay lại vào phương trình ban đầu:
\(1027688,5+x=333060\)
\(x=333060-1027688,5\)
\(x=-694628,5\)Vậy \(x = -694628,5\).
Bài 2:a) Đặt biểu thức là \(A = \vert{}x - 4\vert{} + \vert{}x - 8\vert{} + 6\)
\(A=|x-4|+|8-x|+6\)Áp dụng bất đẳng thức \(\vert{}m\vert{} + \vert{}n\vert{} \geq \vert{}m + n\vert{}\), ta có:
\(|x-4|+|8-x|\ge |x-4+8-x|=|4|=4\)
\(\Rightarrow A\ge 4+6=10\)Dấu "=" xảy ra khi \((x - 4)(8 - x) \geq 0 \Leftrightarrow 4 \leq x \leq 8\).Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(10\) khi \(4 \leq x \leq 8\).b) Vì \(a, b, c > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ 3 số dương:
- \(a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}\)
- \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên:\((a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 3\sqrt[3]{abc}\cdot 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)Dấu "=" xảy ra khi \(a = b = c\). (ĐPCM)
ta có công thức tổng quát:
\(1+2+3+\cdots+k=\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)
=> \(\frac{1}{k}\cdot\frac{k\left(k+1\right)}{2}=\frac{k+1}{2}\)
=> VT= \(\left(\frac22+\frac32+\frac42+\cdots+\frac{2027}{2}\right)+x\)
số lượng số hạng: 2027-2+1=2026( số hạng)
tổng= \(\frac{\left(2+2027\right)\times2026}{2}=2029\cdot1013=2055377\)
\(VT=\frac{2055377}{2}+x\)
3VP= \(9\cdot10\cdot3+10\cdot11\cdot3+\cdots+99\cdot100\cdot3\)
\(3VP=9\cdot10\cdot\left(11-8\right)+10\cdot11\left(12-9\right)+\cdots+99\cdot100\cdot\left(101-98\right)\)
\(3VP=9\cdot10\cdot11-8\cdot9\cdot10+10\cdot11\cdot12-9\cdot10\cdot11+\cdots+99\cdot100\cdot101-98\cdot99\cdot100\)
\(3VP=99\cdot100\cdot101-8\cdot9\cdot10\)
\(3VP=999180\)
\(VP=333060\)
=>x= 333060- \(\frac{2055377}{2}\)
\(x=-\frac{1389257}{2}\)
bài 2:
gọi A= \(\left\vert x-4\right\vert+\left\vert x-8\right\vert+6\)
\(A=\left\vert x-4\right\vert+\left\vert8-x\right\vert+6\)
ta có bđt: \(\left\vert a\right\vert+\left\vert b\right\vert\ge\left\vert a+b\right\vert\) dấu bằng xảy ra khi \(a\cdot b\ge0\)
=> A\(\ge4+6=10\)
dấu bằng xảy ra khi
\(\left(x-4\right)\left(8-x\right)\ge0\)
=> \(4\le x\le8\)
b) ta có bđt phụ: với x;y>0 ta luôn có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{2xy}=\frac{\left(x-y_{}\right)^2}{xy}\ge0\)
dấu bằng xảy ra khi x=y
\(VT=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(VT\ge3+2+2+2=9\left(đpcm\right)\)
dấu bằng xảy ra khi: a=b=c