a) ta có: GB=2GM

mà GB=GE

=> GE=2GM

=> M là trung điểm GE

=> ME=MG

xét tam giác AME và tam giác CMG có:

MA=MC

góc AME= góc CMG

ME=MG

=> △AME=△CMG(c.g.c)

=> góc MAE= góc MCG

mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

=> AE//CG

b) vì G là trọng tâm của tam giác ABC

=> AG là đường trung tuyến thứ 3

=> I là trung điểm của BC

xét tam giác GKE và tam giác GIB có:

góc GEK= góc GBI

GE=GB

góc KGE= góc IGB

=> △GKE=△GIB

=> KE=IB

xét tam giác GKF và tam giác GIC có:

góc GFK= góc GCI

GF=GC

góc KGF= góc IGC

=> △GKF=△GIC

=> KF=IC

mà IB=IC

=> KE=KF

=> K là trung điểm cả EF

d)xét tam giác GFE có:

FM là đường trung tuyến

KG là đường trung tuyến thứ 2

=> O là trọng tâm

ta có GC=2NG

mà GF=GC

=> GF=2NG mà N thuộc FG

=> N là trung điểm của FG

=> EN là đường trung tuyến thứ 3 trong tam giác GFE

=> N,O,E thẳng hàng(đpcm)

sửa đề: cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BP, cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE=PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF=QG.CM

a) GB=GE

b) GC=GF và EF//BC

a) vì G là giao của hai đường trung tuyến trong tam giác ABC

=> GB=2GP

ta có: GP+EP=GE

mà GP=EP

=> GE=2GP

từ các điều trên => GB=GE

b) vì G là giao của hai đường trung tuyến trong tam giác ABC

=> GC=2QG

ta có: GF= QG+QF

mà QG=QF

=> GF= 2QG

từ các điều trên=> GC=GF

xét tam giác GFE và tam giác GCB có:

GC=GF

góc FGE= góc CGB( đối đỉnh)

GE=GB

=> △GFE= △GCB

=>góc GBC= góc GEF

mà hai góc này ở vị trí so le trong

=> EF//BC(đpcm)

1) S= (26-x)(16+x)

S= \(416+10x-x^2\left(m^2\right)\)

2) diện tích ban đầu của thửa ruộng là:

= \(26\times16=416\left(m^2\right)\)

diện tích sau khi tăng thêm là: \(S=416+25=441\)

=> \(416+10x-x^2=441\)

\(10x-x^2=25\)

\(\Rightarrow x^2-10x+25=0\)

\(\left(x-5\right)^2=0\)

x-5=0

=>x=5

để diện tích tăng thêm \(25m^2\) ; x cần tim là 5m

bài 1:

từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại P

xét tam giác ABD và tam giác APD có:

góc BAD= góc PAD( vì AD là tia phân giác )

góc ABD= góc APD= 90 độ

=> △ABD = △APD

=> BD=PD

xét tam giác DPC có:

DP là hình chiếu

DC là đường xiên

=> DP<DC

=>BD<DC

bài 2:

gọi G là giao điểm của AD và BE

=> AG=2GD và BG=2DE

xét tam giác BGD vuông tại G có:

\(BD^2=BG^2+GD^2\)

mà BG=2BD=> \(BG^2=4BD^2\) có

\(BD^2=4GE^2+GD^2\)

ta có : \(BC=2BD\Rightarrow BD^2=4BD^2\)

thay BD=... ta có:

=> \(BC^2=4BD^2=4\left(4GE^2+GD^2\right)=16GE^2+4GD^2\)

xét tam giác AGE vuông tại G có:

\(AE^2=AG^2+GE^2\)

thay \(\Rightarrow AG=2GD\Rightarrow AG^2=4GD^2\) ta có:

\(AE^2=4GD^2+GE^2\)

mà \(AC=2AE\Rightarrow AC^2=4AE^2\)

=> \(AC^2=4\left(4GD^2+GE^2\right)=16GD^2+4GE^2\)

=> \(4AC^2=4\left(16GD^2+4GE^2\right)=64GD^2+16GE^2\)

vì \(4GD^2>64GD^2\)

=> \(4GD^2+16GE^2<64GD^2+16GE^2\)

=> \(BC^2<4AC^2=\left(2AC\right)^2\)

=> \(BC<2AC\) (đpcm)

bài 3:

ta có AC=AD+CD

xét tam giác AED có:

AE là là hình chiếu

AD là đường xiên

=> AE<AD

xét tam giác CFD vuông tịa F

CF là hình chiếu

CD là đường xiên

=> CF<CD

từ các điều trên => AE+CF<AD+CD

AE+CF<AC

bài 4:

gọi độ dài còn lại của tam giác là x(x∈\(N^{\cdot}\) )

=> 8-2<x<8+2( bđt trong tam giác)

6<x<10

mà x là một số tự nhiên chẵn

=>x=8

bài 5:

a) xét tam giác OBC có:

O là giao của ba đường trung trực

=> △OBC là △ cân

=> OB=OC

CMTT: => △OBA;△OAC là tam giác cân

=> OA=OB=OC

b) vì △OBA là tam giác cân

=> góc OAB= góc OBA hay góc OAD= góc OBA

mà xét tam giác ABC cân có O là giao các đường trung trực

=> OA là phân giác của tam giác ABC

=> góc OAB= góc OAC= góc OCA( vì tam giác OAC cân tại O)

=> góc OAD= góc OCA hay góc OAD= góc OCE

xét tam giác ODA và tam giác OEC có:

AD=EC

góc OAD= góc OCE

OA=OC

=> △ODA=△OEC(c.g.c)

=> OD=OE

=> O thuộc đường trung trực của DE

bài 6:

TH1: cạnh đáy là 6cm

gọi cạnh bên là x(x>0)

=> chu vi= x+x+6=20cm

2x+6=20

2x=14

x=7

TH2: cạnh bên là 6cm

gọi đáy là y(y>0)

=> chu vi= 6+6+y=20

12+y=20

y= 8

bài 7:

a) vì tam giác ABC là tam giác cân

=> AG vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác

mà AD⊥BC

=> A;G;D thẳng hàng

b) vì △ABC cân tại A

=> góc BAG= góc CAG

xét tam giác BAG và tam giác CAG có:

AG chung

góc BAG= góc CAG

AB=AC

=> △BAG=△CAG

bài 8:

a) ta có AE=AB

=> △ABE là tam giác cân tại A

mà AD là đường phân giác

=> AD là đường cao đồng thời là đường phân giác

=>AD ⊥BE

mà BF⊥AE giao AD tại H

=> H là trực tâm của tam giác ABE

b) ta có AD là phân giác

=> góc HAF= góc DAC= 70 độ:2=35 độ

xét tam giác AHF có:

góc DHF= góc HAF+ góc HFA( t/c góc ngoài của tam giác )

=> góc DHF= 35 độ+ 90 độ= 125 độ

bài 9:

a) xét tam giác ABM và tam giác ECM có:

AM=EM

góc AMB= góc EMC

BM=CM

=> △ABM=△ECM(ch.cgv)

b) từ câu a)=> góc BAM= góc CEM

=> AB//CE

c) xét tam giác HMC

HM là hình chiếu

MC là đường xiên

=> MH<MC

mà BM=MC

=> BM>MH(đpcm)

bài 2 với bài 10 nộp sau nha:)

mik nghĩ giả thiết S là trung điểm CH lên đầu đề bài để CM nha

a) xét tam giác CBH có:

S là trung điểm HC

M là trung điểm BC

=> SM là đường trung bình

=> SM//BH hay SM//BE

ta có O là giao của 3 đường trung trực

=> ON⊥AC

mà BE⊥AC

=> ON//BE

từ các điều trên => ON//SM(1)

xét tam giác SAH có:

N là trung điểm AC

S là trung điểm HC

=> SN là đường trung bình

=> SN//AH hay SN//AD

vì O là giao của 3 đường trung trực

=> OM⊥BC

mà AD⊥BC

=> ON//AD

kết hợp từ các điều trên => SN//ON(2)

xét tứ giác ONSM có:

từ (1)(2)=> tứ giác ONSM là hình hình hành

b) xét tam giác vuông AFH có:

\(FV=\frac12AH\)

xét tam giác vuông AEH có:

\(EV=\frac12AH\)

từ hai điều trên => FV=EV

=> V thuộc đường trung trực của EF

xét tam giác vuông BFC có:

\(FM=\frac12BC\)

xét tam giác vuông EBC có:

\(EM=\frac12BC\)

từ hai điều trên => FM=EM

=> M thuộc đường trung trực của EF

từ các điều trên => VM là đường trung trực của EF

=> VM⊥EF

vì ONSM là hình bình hành

=> OM=NS

mà NS là đường trung bình của tma giác AHC

=> \(NS=\frac12AH\)

=> \(OM=\frac12AH\) (đpcm)( đoạn này sửa thế đúng ko bạn)

c) vì \(AV=\frac12AH\)

mà ở câu b) ta lại có: \(OM=\frac12AH\)

=> AV=OM

vì OM//AD

từ hai điều trên => AOMV là hình bình hành

=> AO//VM và AO⊥FE tại K

vì OG=2OM

mà AH=2OM

=> OG=AH

lại có OG//AH vì cùng vuông góc với BC

=> tứ giác AHGO là hình bình hành

=> AO//HG//VM hay KO//TM//JG

xét hình thang vuông KOGJ có:

KO//TM//JG

M là trung điểm OG

gọi T là giao của VM và FE

=> T là trung điểm của JK

vì VM là đường trung bình của EF

=> T là trung điểm EF

ta có : FJ= TF-TJ

EK= TE-TK

mà TJ=TK và TF=TE

=> FJ=EK(3)

viết tắt vì lười quá thì dễ dàng CM: △AFE~△ABC

=> góc AEF= góc ABC

xét tam giác AKE và tam giác ABD có:

góc AEK= góc ABD

góc AKE= góc ADB= 90 độ

=> △AKE~△ADB(g.g)

=> \(\frac{EK}{BD}=\frac{AE}{AB}\)

CMTT: => △BID~△BAE(g.g)

=> \(\frac{DI}{AE}=\frac{BD}{BA}\)

=> \(\frac{DI}{BD}=\frac{AE}{BA}\)

từ hai điều trên => \(\frac{EK}{BD}=\frac{DI}{BD}\)

=> EK=DI(4)

từ (3)(4)=> DI=EK=FJ(đpcm)

Bài 3:

a) xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB=AC

AM là cạnh chung

MB=MC

=> △ABM=△ACM(c.c.c)

=> góc BAM= góc ACM

=> AM là tia phân giác của góc BAC

b) vì △ABM=△ACM

=> góc AMB= góc AMC

vì M;B;C thẳng hàng

=> góc AMB+ góc AMC= 180 độ

mà góc AMB= góc AMC

=> 2 x góc AMB= 180 độ

góc MAB= 180 độ:2= 90 độ

=> AM⊥BC

c) vì CN//AB

=> góc ABM= góc NCM

xét tam giác ABM và tam giác NCM có:

góc ABM= góc NCM

MB=MC

góc AMB= góc NMC( đối đỉnh)

=> △ABM=△NCM(g.c.g)

=> AM=MN

vì M;A;N thẳng hàng

=> M là trung điểm của AN(đpcm)

Câu 4:

a) xét tam giác ABE và tam giác ABC có:

\(BE=\frac13BC\)

chiều cao hạ từ A chung nhau xuống đáy BC

=> \(S_{ABE}=\frac13S_{ABC}=\frac13\times180=60\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

xét tam giác BDE và tam giác ABE có:

\(BD=\frac13AB\)

chung chiều cao hạ từ E xuống đáy BC

=> \(S_{BDE}=\frac13S_{ABE}=\frac13\times60=20\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b) ta có : \(S_{AEC}=S_{ABC}-S_{ABE}=180-60=120\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

xét tam giác ADC và tam giác EDC có:

\(BD=\frac13AB\Rightarrow AD=\frac23AB\)

chung chiều cao hạ từ C xuống AB

=> \(S_{ADC}=\frac23S_{ABC}=\frac23\times180=120\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

diện tích tam giác BDC là:

\(S_{BDC}=S_{ABC}-S_{ADC}=180-120=60\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

xét tam giác EDC và tam giác BDC có:

chung chiều cao hạ từ D xuống BC

\(EC=\frac23BC\)

=> \(S_{EDC}=\frac23\times S_{BDC}=\frac23\times60=40\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

xét tam giác ADC và tam giác EDC có:

chung đáy CD

=> \(\frac{S_{ADC}}{S_{EDC}}=\frac{120}{40}=3\)

=> chiều cao hạ từ A xuống CD gấp 3 lần chiều cao hạ từ E xuống CD

xét tam giác AGC và tam giác EGC

chung đáy GC

chiều cao hạ từ A xuống GC gấp 3 chiều cao hạ từ E xuống GC

=> \(S_{AGC}=3S_{EGC}\)

=> \(S_{EGC}=\frac13S_{AGC}\)

mà \(S_{AGC}+S_{EGC}=S_{AEC}=120\operatorname{cm}^2\)

=> \(S_{AGC}+\frac13S_{AGC}=120\operatorname{cm}^2\)

\(\frac43S_{AGC}=120\operatorname{cm}^2\)

\(S_{AGC}=120:\frac43=90\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c) => \(GE=\frac13AE\)

xét tam giác BGE và tam giác ABE có:

chung chiều cao hạ từ B xuống AE

\(GE=\frac13AE\)

=> \(S_{BGE}=\frac13S_{ABE}=\frac13\times60=20\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

xét tam giác CGE và tam giác ACE có:

chung chiều cao hạ từ C xuống AE

\(GE=\frac13AE\)

=> \(S_{CGE}=\frac13S_{AEC}=\frac13\times120=40\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

=> \(S_{BGC}=S_{BGE}+S_{CGE}=20+40=60\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a) \(\left(2x+3\right)^3=8x^3+36x^2+54x+27\)

\(\left(2x+3y\right)^3=8x^3+36x^2y+54xy^2+27y^3\)

\(\left(\frac12x+3\right)^3=\frac18x^3+\frac94x^2+\frac{27}{2}x+27\)

\(\left(x+\frac13\right)^3=x^3+x^2+\frac13x+\frac{1}{27}\)

b) \(\left(3x-1\right)^3=27x^3-27x^2+9x-1\)

\(\left(4x-y\right)^3=64x^3-48x^2y+12xy^2-y^3\)

\(\left(2x-3\right)^3=8x^3-36x^2+54x-27\)

\(\left(3x-y\right)^3=27x^3-27x^2y+9xy^2-y^3\)

Bài 3:

a) \(\left(2x-3\right)^3-2x\left(2x+1\right)^2\)

= \(\left(8x^3-36x^2+54x-27\right)-2x\left(4x^2+4x+1\right)\)

= \(8x^3-36x^2+54x-27-8x^3-8x^2-2x\)

= \(-44x^2+52x-27\)

b) \(\left(x+1\right)^3-\left(x-4\right)\left(x+4\right)-x^3\)

= \(x^3+3x^2+3x+1-x^2+16-x^3\)

\(=2x^2+3x+17\)

c) \(\left(x+2\right)^3-x\left(x+3\right)\left(x-3\right)-12x^2-8\)

= \(x^3+6x^2+12x+8-x^3+9x-12x^2-8\)

\(=-6x^2+21x\)

d) \(\left(a+b+c\right)^2-\left(a-b-c\right)^2-4ac\)

= \(\left\lbrack\left(a+b+c\right)-\left(a-b-c\right)\right\rbrack\left\lbrack\left(a+b+c\right)+\left(a-b-c\right)\right\rbrack-4ac\)

= \(\left(2b+2c\right)\left(2a\right)-4ac\)

= \(4ab+4ac-4ac\)

\(=4ab\)

Bài 6:

a) \(A=x^2-y^2\)

= \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)

ta cần tìm x+y

mà \(\left(x+y\right)^2=\left(x-y\right)^2+4xy\)

thay các giá trị vào ta có:

\(\left(x+y\right)^2=7^2+4\cdot60\)

\(\left(x+y\right)^2=289\)

vì x>y>0 => \(x+y>0\)

=> \(x+y=\sqrt{289}=17\)

=> A= \(7\cdot17=119\)

b) \(B=x^4+y^4\)

\(B=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\)

\(B=\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\)

mà ta có: \(\left(x-y\right)^2=7^2\)

\(x^2-2xy+y^2=49\)

\(x^2+y^2=49+2\left(60\right)\)

\(x^2+y^2=169\)

=> \(B=169^2-2\cdot\left(60\right)^2\)

\(B=21361\)

trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=ND

chu vi của tam giác AMN là:

AM+AN+MN= 2a

mà ta có: AB+AD= a=a=2a

hay (AM+MB)+(AN+ND)=2a

từ hai điều trên ta có:

AM+AN+MN=AM+MB+AN+ND

triệt tiêu AM và AN ở hai vế ta có:

MN=MB+ND(1)

xét tam giác CND và tam giác CBE có:

CD=CB

góc CDN= góc CBE= 90 độ

ND=BE

=> △CND=△CBE(c.g.c)

=> CN=CE(2)

ta có ME=MB+BE

mà BE=ND

=> ME=MB+ND

mà MN= MB+ND

=> ME=MN(3)

xét tam giác CMN và tam giác CME có:

CM là cạnh chung

CN=CE

MN=ME

=> △CMN=△CME(c.c.c)

=> góc CMN= góc CME hay góc CMH= góc CMB

kẻ CH⊥MN tại H

xét tam giác CHM và tam giác CBM có:

CM là cạnh chung

CHM= góc CMB

góc CBM= góc CHM= 90 độ

=> △CHM=△CBM(ch-gn)

=> CH=CB=a

vì a là hằng số cố định nên khoảng cách từ C đến MN ko phụ thuộc vào M;N

từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I. Gọi giao điểm của MB và EF là K. Gọi giao của MI và EF là G

xét tứ giác AEMI có:

góc A= góc MEA= góc MIA= 90 độ

góc IAM= góc EAM= 45 độ( xét hình vuông ABCD)

=> tứ giác AEMI là hình vuông

=> MI=ME=AE=AI

xét tứ giác MEDF có:

góc D= góc MED= góc MFD= 90 độ

=> tứ giác MEDF là hình chữ nhật

=> ME=DF và DE=MF

từ các điều trên=> MI=DF

ta có: IB= AB-AI

ED=AD-AE

mà AB=AD và AI=AE

=> IB=ED

xét tam giác MIB và tam giác FDE có:

góc MIB= góc FDE= 90 độ

MI=DF

IB=ED

=> △MIB=△FDE(c.g.c)

=> góc IBM= góc DEG

mà MG//AD=> góc DEG= góc MGE

=> góc MGE= góc IBM hay góc KGM= góc IBM

mà ta có góc IMB= góc KMG

xét tam giác IMB có:

góc IBM+ góc IMB= 90 độ

=> góc KMG+ góc KGM= 90 độ

=> △KMG vuông tại K

=> MB⊥EF tại K

mà giả thiết cho MH⊥EF

=> MH;MB trùng nhau hay M;H;B thẳng hàng

vậy M di động trên AC thì MH luôn đi qua đỉnh B