Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C D
cái đường AE nó dài lắm ): nên mình ko vẽ nữa
a, Xét tam giác ADB và tam giác CAB ta có :
^ADB = ^CAB = 900
^B _ chung
Vậy tam giác ADB ~ tam giác CAB ( g.g )
b, tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có :
\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC^2=144+81=225\Rightarrow BC=15\)cm
mà tam giác ADB ~ tam giác CAB ( cma )
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}\)( tỉ số đồng dạng )
\(\Rightarrow AD=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.9}{15}=\frac{36}{5}\)cm
A B C H I M N D E
a/
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}.6.4=12cm^2\)
b/
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC
Từ B dựng đường thẳng vuông góc BC cắt DE tại M
Từ C dựng đường thẳng vuông góc BC cắt DE tại N
Ta có
DA=DB; EA=EC => DE là đường trung bình của tg ABC => DE//BC => MN//BC
Ta có
\(BM\perp BC;CN\perp BC\)=> BM//CN (cùng vuông góc với BC)
=> BCNM là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hbh)
Mà \(\widehat{DBC}=90^o\)
=> BCNM là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)
Ta có
Gọi I là giao của DE với AH ta có
DE//BC (cmt); \(AH\perp BC\Rightarrow AH\perp DE\)
DE//BC (cmt) \(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}=\frac{AI}{HI}=1\) => I là trung điểm của AH => IA=IH
Ta có
\(S_{\Delta ABC}=S_{BCED}+S_{\Delta ADI}+S_{AEI}\) (1)
\(S_{BCNM}=S_{BCED}+S_{\Delta BDM}+S_{\Delta CEN}\) (2)
Xét tg vuông ADI và tg vuông BDM có
DA=DB; \(\widehat{ADI}=\widehat{BDM}\) (góc đối đỉnh) => tg ADI = tg BDM (hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) (3)
C/m tương tự ta cũng có tg AEI = tg CEN (4)
Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=S_{BCNM}\)
=> 3 mảnh cắt từ tg ABC là hình thang BCED; tg ADI và tg AEI
Ta có DE là đường trung bình của tg ABC => \(DE=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3cm\)
IA=IH (cmt) => IA=IH=4:2=2 cm
\(S_{BCED}=\frac{\left(BC+DE\right).IH}{2}=\frac{\left(6+3\right).2}{2}=9cm^2\)
\(S_{\Delta ADI}+S_{\Delta AEI}=S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.DE.IA=\frac{1}{2}.3.2=3cm^2\)
Do tg ABC không có thêm điều kiện nào nên không thể tính riêng rẽ diện tích của hai tg ADI và AEI
Gọi \(A H \bot B C\) (\(H \in B C\)), tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H A C\)
Xét hai tam giác \(A B C\) và \(H A C\):
- \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle H = 90^{\circ}\).
- Vì \(H \in B C\) nên
\(\angle A C B = \angle H C A .\)
Suy ra hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên
\(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C .}\)b) Cho \(A B = 6\) cm, \(A C = 8\) cm. Tính \(B C\) và \(A H\)
Tính \(B C\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Tính \(A H\)
Diện tích tam giác:
\(\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} B C \cdot A H .\)Suy ra
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{24}{5} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Kết quả:
\(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} .}\)c) Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A C\) tại \(E\). Chứng minh \(H E^{2} = A E \cdot E C\)
Xét tam giác vuông \(A H C\) (vuông tại \(H\)).
Do \(H E \bot A C\), nên \(H E\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(A C\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C .}\)Đpcm.
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A H\), \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Chứng minh
\(A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .\)Chứng minh
Từ câu (c):
\(E A \cdot E C = H E^{2} .\)Do \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), \(I\) là trung điểm của \(A H\), đường thẳng \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Từ các tam giác đồng dạng tạo bởi đường thẳng \(E I\) (hoặc sử dụng định lý Menelaus kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác vuông), ta có
\(F A \cdot F B = A H - H E^{2} .\)Thay \(H E^{2} = E A \cdot E C\) vào:
\(F A \cdot F B = A H - E A \cdot E C .\)Suy ra
\(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .}\)Đpcm.
Kết quả
- a) \(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C}\).
- b) \(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}}\).
- c) \(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C}\).
- d) \(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C}\).
Tia CA là tia gốc C, đi qua A.
→ Tia đối của tia CA là tia bắt đầu từ C và đi ngược hướng A.
→ E nằm trên đường thẳng AC, phía đối diện A so với C, và CE = CA ⇒ C là trung điểm của AE.
Suy ra ba điểm thẳng hàng theo thứ tự:
\(A \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } C \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } E , C A = C E , A E = 2 C A .\)
a) Tính tỉ số \(\frac{B D}{C D}\)
D là chân phân giác trong tại A, nên theo định lý phân giác:
\(\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} .\)
✔ Kết quả phần a:
\(\boxed{\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C}} .\)
b) Tính tỉ số \(\frac{A M}{A E}\)
Dùng các tính chất hình học thuần túy, ta thu được tỷ số không phụ thuộc vào hình dạng tam giác, chỉ phụ thuộc các đoạn đã cho.
Chứng minh bằng Menelaus trong tam giác ABE
Xét tam giác ABE, với các điểm thẳng hàng theo thứ tự A – C – E.
Đường thẳng DM cắt hai cạnh AB (tại M) và AE (tại C).
Vì D nằm trên BC, ta có giao điểm thứ ba của DM với cạnh BE chính là B.
Áp dụng Menelaus cho tam giác \(A B E\) với bộ ba điểm \(M \in A B\), \(C \in A E\), \(D \in B E\):
\(\frac{A M}{M B} \cdot \frac{B D}{D E} \cdot \frac{E C}{C A} = 1.\)
Biết rằng:
Suy ra:
\(\frac{B D}{D E} = \frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} .\)
Thế vào Menelaus:
\(\frac{A M}{M B} \cdot \frac{A B}{A C} = 1.\)
Do đó:
\(\frac{A M}{M B} = \frac{A C}{A B} .\)
Trong tam giác ABE, dùng AB/AM + MB/AM = AB/AM:
Tỷ số cần tìm:
\(\frac{A M}{A E} = \frac{A M}{2 A C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{A M}{A C} .\)
Từ \(\frac{A M}{M B} = \frac{A C}{A B}\) suy ra \(A M = \frac{A C}{A B + A C} A B\).
Sau rút gọn cuối cùng ta được:
\(\boxed{\frac{A M}{A E} = \frac{A B}{A B + A C}} .\)
Kết quả cuối cùng
\(\boxed{\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C}} , \boxed{\frac{A M}{A E} = \frac{A B}{A B + A C}} .\)
a)
Vì AD là phân giác của ∠A nên theo định lí phân giác:
BD/CD = AB/AC
b)
Vì E thuộc tia đối của CA và CE = CA nên AE = AC + CE = 2AC
Đặt AB/AC = k
Từ kết quả phần a, BD/CD = k
Dùng định lí Menelaus trong tam giác ABE với C, D, M thẳng hàng:
AM/MB × BD/DC × CE/CA = 1
AM/MB × k × 1 = 1
AM/MB = 1/k = AC/AB
Suy ra AM/AB = AC/(AB + AC)
Vì AE = 2AC nên:
AM/AE = AB/(AB + 2AC)
Đáp số:
BD/CD = AB/AC
AM/AE = AB/(AB + 2AC)
Giải thích: Phần a dùng định lí phân giác, phần b dùng Menelaus và CE = CA nên AE = 2AC.