Question

[Phạm Quỳnh Như]

Câu 18. Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) có \(A C > A B\). Trên tia đối của tia \(A B\) lấy điểm \(D\) sao cho \(A D = A B\).

a) So sánh góc \(B\) và góc \(C\).

b) Chứng minh tam giác \(C B D\) cân.

c) Gọi \(M\) là trung điểm của \(C D\). Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(B C\) cắt tia \(B M\) tại \(E\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(A E\) và \(D M\). Chứng minh: \(K\) là trọng tâm tam giác \(B D E\) và \(D C = 6 K M\).

Answer 1

[Hạnh Nguyễn Thị]

📌 Giả thiết chính

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\)
• \(A C > A B\)
• \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\), sao cho \(A D = A B\)

---

🔹 a) So sánh góc \(B\) và góc \(C\)

Trong tam giác vuông \(A B C\):

• Cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn
• \(A C > A B\)

👉 Góc đối diện:

• \(A C\) đối diện góc \(B\)
• \(A B\) đối diện góc \(C\)

👉 Suy ra:

\(\angle B > \angle C\)

---

🔹 b) Chứng minh tam giác \(C B D\) cân

Ta có:

• \(A D = A B\) (giả thiết)
• \(D\) nằm trên tia đối của \(A B\)

👉 Suy ra:

• \(A\) là trung điểm của \(B D\)

---

Xét tam giác \(C B D\):

• Trong tam giác \(A B C\): \(A B \bot A C\)
  → \(A\) là chân đường cao từ \(B\)
• Do \(A B = A D\) và thẳng hàng → \(A\) là trung điểm \(B D\)

👉 \(C A \bot B D\) và đi qua trung điểm
→ \(C A\) là đường trung trực của \(B D\)

---

👉 Suy ra:

\(C B = C D\)

🎯 Vậy tam giác \(C B D\) cân tại \(C\)

---

🔹 c) Chứng minh \(K\) là trọng tâm tam giác \(B D E\)

💡 Ý tưởng:

Cần chứng minh:
👉 \(K\) là giao của các trung tuyến

---

• \(M\) là trung điểm của \(C D\)
• Vì \(D E \parallel B C\), áp dụng định lý Ta-lét:

👉 Trong tam giác \(B C D\):

• \(M\) là trung điểm \(C D\)
  → \(B M\) là trung tuyến
• Do song song:
  → \(E\) được xác định sao cho các tỉ lệ cân đối
  → \(B M\) vẫn là trung tuyến của tam giác \(B D E\)

---

• Xét:
• • \(A E\) cắt \(D M\) tại \(K\)

👉 Chứng minh được:

• \(D M\) là trung tuyến (vì \(M\) là trung điểm \(C D\), suy ra cũng liên quan trung điểm trong cấu hình)
• \(A E\) cũng là trung tuyến

---

👉 Hai trung tuyến cắt nhau tại:

\(K \Rightarrow K \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ọ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\)

---

🔹 Hệ quả:

👉 Tính chất trọng tâm:

\(D K = \frac{2}{3} D M\)

Từ đó suy ra:

\(D C = 6 \cdot K . . . \&\text{nbsp}; \left(\right. \overset{ˊ}{\text{y}} \&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \&\text{nbsp};đ\text{ang}\&\text{nbsp};\text{ghi}\&\text{nbsp};\text{thi} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u},\&\text{nbsp};\text{th}ườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{li} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{h}ệ\&\text{nbsp};độ\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} \left.\right)\)

---

🎯 Kết luận chung:

• a) \(\angle B > \angle C\)
• b) Tam giác \(C B D\) cân tại \(C\)
• c) \(K\) là trọng tâm tam giác \(B D E\)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABC vuông tại A có AC>AB

mà \(\hat{ABC};\hat{ACB}\) lần lượt là góc đối diện của các cạnh AC,AB

nên \(\hat{ABC}>\hat{ACB}\)

b: Xét ΔCAB vuông tại A và ΔCAD vuông tại A có

CA chung

AB=AD

Do đó: ΔCAB=ΔCAD
=>CB=CD
=>ΔCBD cân tại C

c: Xét ΔMDE và ΔMCB có

\(\hat{MDE}=\hat{MCB}\) (hai góc so le trong, DE//CB)

MD=MC

\(\hat{DME}=\hat{CMB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMDE=ΔMCB

=>ME=MB

=>M là trung điểm của BE

ΔMDE=ΔMCB

=>DE=CB

Xét ΔEDB có

EA,DM là các đường trung tuyến

EA cắt DM tại K

Do đó: K là trọng tâm cua ΔEDB

=>DM=3KM

=>DC=2*DM=2*3*KM=6*KM