Question

[Doãn TIến bình an]

Bài 1: Cho ∆ABC, AB < AC, đường phân giác AD.

a) Chứng minh DB < DC.

b) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = BD. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở F. Chứng minh rằng CD = CF.

giúp mình với

Answer 1

[Vũ Minh Thùy]

Ta có bài toán:

Cho tam giác \(A B C\), \(A B < A C\), \(A D\) là đường phân giác (\(D \in B C\)).

a) Chứng minh \(D B < D C\)

Theo định lý đường phân giác trong tam giác:

\(\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} .\)

Vì \(A B < A C\) nên

\(\frac{A B}{A C} < 1.\)

Suy ra

\(\frac{D B}{D C} < 1\)

hay

\(\boxed{D B < D C .}\)

---

b) Trên cạnh \(A B\) lấy điểm \(E\) sao cho \(B E = B D\). Qua \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(B C\), cắt \(A C\) tại \(F\). Chứng minh \(C D = C F\).

Do \(E F \parallel B C\), ta có hai tam giác \(A E F\) và \(A B C\) đồng dạng.

Suy ra

\(\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C} .\)

Mà

\(A E = A B - B E = A B - B D .\)

Theo định lý đường phân giác:

\(\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}\)

nên

\(\frac{B D}{A B} = \frac{D C}{A C} .\)

Do đó

\(1 - \frac{B D}{A B} = 1 - \frac{D C}{A C} ,\)

hay

\(\frac{A B - B D}{A B} = \frac{A C - D C}{A C} .\)

Suy ra

\(\frac{A E}{A B} = \frac{A C - D C}{A C} .\)

Lại có

\(\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C} ,\)

nên

\(\frac{A F}{A C} = \frac{A C - D C}{A C} .\)

Suy ra

\(A F = A C - D C .\)

Mà

\(C F = A C - A F = A C - \left(\right. A C - D C \left.\right) = D C .\)

Vậy

\(\boxed{C F = C D .}\)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a; Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}\)

mà AB<AC

nên DB<DC

b: BE=BD

=>ΔBED cân tại B

=>\(\hat{BED}=\hat{BDE}\)

mà \(\hat{BDE}=\hat{FED}\) (hai góc so le trong, BD//EF)

nên \(\hat{BED}=\hat{FED}\)

=>ED là phân giác của góc BEF

Xét ΔABC có EF//BC

nên \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

=>\(1-\frac{AE}{AB}=1-\frac{AF}{AC}\)

=>\(\frac{BE}{BA}=\frac{CF}{CA}\)

=>\(\frac{BE}{CF}=\frac{BA}{CA}\)

Ta có: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

\(\frac{BE}{CF}=\frac{BA}{CA}\)

Do đó: \(\frac{BD}{DC}=\frac{BE}{CF}\)

mà BD=BE

nên CD=CF

Answer 3

[phong nguyen]

a) trên tia AC lấy điểm M sao cho AM=AB

dễ dàng CM: △ABD=△AMD(c.g.c)

=> BD=MD và góc ABD= góc AMD

ta có trong tam giác ABC:

=> 180 độ- góc ABD= góc A+ góc C

mà góc DMC= 180 độ- góc AMD= 180 độ- góc ABD

=> góc DMC= góc A+ góc C

mà vì góc A>0

=> góc DMC> góc C

=> DC>DM

mà DM=BD

=> DC>DB

b) kẻ DH⊥AB;DK⊥AC;DL⊥EF

ta có: △BED cân tại B

=> góc BED= góc BDE

mà EF//BC=> góc DEF= góc BDE

=> góc BED= góc DEF

=> DE là tia phân giác của góc BEF

dễ dàng CM: △AHD=△AKD(ch.gn)

=> DH=DK

xét tam giác EHD vuông tại H và tam giác ELD vuông L

ED là cạnh chung

góc HED= góc LED

=> △EHD=△ELD(ch.gn)

=> DH=DL

mà DK=DH

-=> DK=DL

xét tam giác DKF và tam giác DLF có:

DF chung

DK=DL

góc DLF= góc DKF= 90 độ

=> △DKF=△DLF(ch.gn)

=> góc DFK= góc DFL

mà EF//BC=> góc EFD= góc FDC

=> góc DFC= góc FDC

=> △FDC cân tại C

=> CD=CF(đpcm)