Question

[Nguyễn Quang Khánh]

Cho tam giác ABC vuông tại B có đường cao là BH, AB = 3cm, BC = 4cm. Để Tia phân giác của góc ABC ( I thuộc AC)

a) Tính độ dài AC và IC

b) chứng minh tam giác BAC ~ Tam giác HBC. Tính độ dài CH

c) trên tia đối của tia BA lấy điểm D. Vẽ BK vuông góc với CD tại K. Chứng minh rằng BC^2 = CK . CD và tam giác CHK ~ tam giác CDA

Answer 1

[phong nguyen]

a) ta có: \(AB^2+AC^2=BC^2\)

=> \(9+AC^2=25\)

=> \(AC=5\operatorname{cm}\)

xét tam giác ABC

=> \(\frac{IA}{IC}=\frac{AB}{BC}\)

=> \(\frac{IA}{AB}=\frac{IC}{BC}=\frac{IA+IC}{AB+BC}=\frac57\)

=> IC=\(\frac57\cdot4=\frac{20}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b) dễ dàng CM: △BAC~△HBC

=> \(\frac{BC}{HC}=\frac{AC}{BC}\)

=> \(BC^2=HC\cdot AC\)

=> \(HC=\frac{4^2}{5}=3,2\operatorname{cm}\)

c) áp dụng hệ thức lượng:

=> \(BC^2=KC\cdot DC=HC\cdot AC\)

=> \(\frac{HC}{CD}=\frac{CK}{AC}\)

kết hợp với chung góc C

=> △CHK~△CDA(c.g.c)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ΔBAC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>AC=5(cm)

Xét ΔBAC có BI là phân giác

nên \(\frac{IA}{IC}=\frac{BA}{BC}=\frac34\)

=>\(\frac{IA}{3}=\frac{IC}{4}\)

mà IA+IC=AC=5cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{IA}{3}=\frac{IC}{4}=\frac{IA+IC}{3+4}=\frac57\)

=>\(IC=4\cdot\frac57=\frac{20}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔCHB vuông tại H và ΔCBA vuông tại B có

góc HCB chung

Do đó: ΔCHB~ΔCBA

=>\(\frac{CH}{CB}=\frac{CB}{CA}\)

=>\(CH=\frac{CB^2}{CA}=\frac{4^2}{5}=3,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: \(\frac{CH}{CB}=\frac{CB}{CA}\)

=>\(CH\cdot CA=CB^2\left(1\right)\)

Xét ΔCBD vuông tại B có BK là đường cao

nên \(CK\cdot CD=CB^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(CH\cdot CA=CK\cdot CD\)

=>\(\frac{CH}{CD}=\frac{CK}{CA}\)

Xét ΔCHK và ΔCDA có

\(\frac{CH}{CD}=\frac{CK}{CA}\)

góc HCK chung

Do đó: ΔCHK~ΔCDA