Question

[Nguyễn Tuấn Dũng]

Mọi người giúp mình bài này với ạ

Answer 1

[ngannek]

Bài 3:
a) - Đặt P(x) = \(x^3+ax+b\)
- Theo đề bài, P(x) chia cho ( x + 1 ) dư 7
nên áp dụng định lý số dư ( định lý Bézout), ta có:
P(-1) = 7
\(\Rightarrow\left(-1\right)^3+a\left(-1\right)+b=7\)
\(\Rightarrow-1-a+b=7\)
\(\Rightarrow-a+b=8\) (1)
Tương tự do P(x) chia cho ( x - 3 ) dư (-5 ) nên:
P(-3) = -5
\(\Rightarrow\left(3\right)^3+a\left(3\right)+b=-5\)
\(\Rightarrow27+3a+b=-5\)
\(\Rightarrow3a+b=-32\) ( 2 )
Lấy ( 2 ) trừ đi ( 1 ):
Ta được: 4a = -40
=> a = - 10
Thay a = - 10 vào ( 1 ):
- a + b = 8
=> - ( - 10 ) + b = 8
=> b = -2
Vậy a = - 10 và b = - 2
b) Đặt P(x) là số bị chia, Q(x) là thương và R(x) là số dư cần tìm
- Do số chia là \(\left(x^2-1\right)\) ( bậc 2 )
nên R(x) là một đa thức nhỏ hơn bậc 2
=> R(x) = ax + b

- Khi đó:
P(x) = \(\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+\left(ax+b\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(x-1\right)\left(x+2\right).Q\left(x\right)+ax+b\)
Vì \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) có hai nghiệm là 1 và ( - 1 )
Thay x = 1 vào đẳng thức:
P(1) = ( 1 - 1 )( 1 + 1 ) . Q(1) + a(1) + b
=> P(1) = a + b
mà \(P\left(1\right)=1^{81}+1^{27}+1^9+1^3+1=1+1+1+1+1=5\)
Suy ra, a + b = 5 ( 1 )
Tương tự, thay x = - 1 vào đẳng thức:
P(-1) = (- 1 - 1 )( - 1 + 1 ) . Q(-1)+ a(-1) + b
=> P(-1) = -a + b
mà \(P\left(-1\right)=\left(-1\right)^{81}+\left(-1\right)^{27}+\left(-1\right)^9+\left(-1\right)^3+\left(-1\right)=-5\)
Suy ra, -a + b = - 5 ( 2 )
Cộng ( 1 ) và ( 2 ) lại:
Ta được: 2b = 0
=> b = 0
Thay b = 0 vào:
a + b = 5
=> a + 0 = 5
=> a = -5
vậy R(x) = ax + b = 5x