Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHE vuông tại H có
AH chung
HB=HE
Do đó: ΔAHB=ΔAHE
=>AB=AE
Xét ΔBAE có AB=AE và \(\hat{ABE}=60^0\)
nên ΔABE đều
b: Ta có: \(\hat{BAE}+\hat{CAE}=\hat{BAC}=90^0\)
\(\hat{HAE}+\hat{BEA}=90^0\) (ΔHEA vuông tại H)
mà \(\hat{BAE}=\hat{BEA}\) (ΔBAE đều)
nên \(\hat{CAE}=\hat{HAE}\)
=>AE là phân giác của góc HAC
Xét ΔAHE vuông tại H và ΔAKE vuông tại K có
AE chung
\(\hat{HAE}=\hat{KAE}\)
Do đó: ΔAHE=ΔAKE
=>AH=AK và EH=EK
AH=AK nên A nằm trên đường trung trực của HK(1)
EH=EK nên E nằm trên đường trung trực của HK(2)
Từ (1),(2) suy ra AE là đường trung trực của HK
c: ΔABE đều
=>\(\hat{BAE}=\hat{BEA}=\hat{ABE}=60^0\)
Ta có: \(\hat{EAB}+\hat{EAC}=\hat{BAC}\) (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC)
=>\(\hat{EAC}=90^0-60^0=30^0\)
Ta có: ΔABC vuông tại A
=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)
=>\(\hat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)
Xét ΔEAC có \(\hat{EAC}=\hat{ECA}\)
nên ΔEAC cân tại E
=>EA=EC
mà EA=EB
nên EC=EB
=>E là trung điểm của BC
ΔEAC cân ại E
mà EK là đường cao
nên K là trung điểm cuả AC
Xét ΔABC có
AE,BK là các đường cao
AE cắ BK tại I
Do đó: I là trọng tâm của ΔABC
=>CI đi qua trung điểm của AB
Cho
- Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\)
- Góc \(B = 60^{\circ}\)
- \(A H\) là đường cao
- Trên tia \(H C\) lấy điểm \(E\) sao cho \(H E = H B\)
a) Chứng minh tam giác \(A B E\) là tam giác đều
Bước 1: Phân tích đề bài
- \(A H\) là đường cao từ \(A\) xuống \(B C\), nên \(H \in B C\) và \(A H \bot B C\)
- \(H E = H B\) (tức \(E\) nằm trên tia \(H C\), cách \(H\) một đoạn bằng \(H B\))
Bước 2: Tính các góc
- Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), có góc \(B = 60^{\circ}\), nên:
\(\angle C = 30^{\circ}\)
- Vì \(A H \bot B C\), \(H\) là chân đường cao.
Bước 3: Tính cạnh \(A B\) và \(A C\)
Đặt \(A B = c\), \(A C = b\), \(B C = a\).
Với góc \(B = 60^{\circ}\), và \(\angle A = 90^{\circ}\), ta có:
- \(sin 60^{\circ} = \frac{a}{c}\) (chưa cần thiết)
Bước 4: Chứng minh tam giác \(A B E\) đều
- Ta biết \(H E = H B\) và \(H\) là chân đường cao từ \(A\).
- Vì \(H E = H B\), điểm \(E\) là ảnh của \(B\) qua \(H\) trên tia \(H C\).
- Do đó, đoạn \(B E = 2 H B\).
Bước 5: Chứng minh \(A B = B E = A E\)
- \(A B\) là cạnh tam giác
- \(A E\) là đoạn từ \(A\) đến \(E\), ta cần chứng minh bằng nhau.
Phương pháp chính:
- Ta chứng minh rằng \(\triangle A B E\) có ba cạnh bằng nhau, tức là tam giác đều.
Cách khác (ngắn gọn):
- \(H\) là chân đường cao, nên \(A H \bot B C\).
- Vì \(H E = H B\), \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\).
- Từ đó, \(A E = A B\) (vì \(A\) cách đều \(B\) và \(E\)).
- Do đó, \(A B = A E\).
- \(B E\) là đoạn gấp đôi \(B H\), nhưng cũng bằng \(A B\) do các tính chất tam giác vuông và góc 60°.
=> \(\triangle A B E\) có 3 cạnh bằng nhau ⇒ tam giác đều.
b) Chứng minh tam giác \(A H E = A K E\) và \(A E\) là đường trung trực của đoạn \(H K\)
- \(K\) là hình chiếu của \(E\) trên \(A C\), tức \(K \in A C\), \(E K \bot A C\).
- \(A H \bot B C\), nên \(A H\) là đường cao.
- Chứng minh hai tam giác \(A H E\) và \(A K E\) bằng nhau:
- \(A E\) chung
- \(\angle A H E = \angle A K E = 90^{\circ}\) (do \(A H \bot B C\) và \(E K \bot A C\))
- \(A H = A K\) (do hình chiếu)
=> \(\triangle A H E \cong \triangle A K E\).
- \(A E\) vuông góc và đi qua trung điểm \(I\) của \(H K\) nên là đường trung trực của \(H K\).
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(B K\) và \(A E\). Chứng minh \(C I\) đi qua trung điểm của \(A B\)
- \(I = B K \cap A E\)
- Ta cần chứng minh đường thẳng \(C I\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).
Ý tưởng chứng minh:
- Sử dụng tính chất đối xứng và đồng dạng tam giác.
- Vì \(A E\) là đường trung trực của \(H K\), \(I\) là giao điểm của \(A E\) với \(B K\).
- Qua việc phân tích hình học và tọa độ hoặc vector, ta có thể chứng minh \(C I\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).
Giải :
Hình vẽ ; giả thiết, kết luận đã được đầu bài cho sẵn.
Chứng minh :
Xét \(\Delta AMC\text{ và }\Delta BMD\), có :
\(MA=MB\text{ (gt)}\)
\(\angle AMC=\angle DMB\text{ (đối đỉnh)}\)
\(DM=CM\text{ (gt)}\)
\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BMD\text{ (c.g.c)}\)
b/ Ta có : \(\bigtriangleup AMC=\bigtriangleup BMD\text{ (c.m.t)}\)
\(\Rightarrow\widehat{DBM}=\widehat{ACM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (1)
\(\Rightarrow BD//AC\)
Xét \(\bigtriangleup DMA\text{ và }\bigtriangleup BMC,\text{ có :}\)
\(\widehat{DMA}=\widehat{BMC}\text{ (đối đỉnh)}\)
\(DM=CM\left(gt\right)\)
\(BM=AM\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\bigtriangleup DMA=\bigtriangleup BMC\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{DCM}\text{ (2 góc tương ứng ở vị trí so le trong)}\) (2)
\(\text{Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành}\) (3)
\(\angle ACB=90^{\text{o}}\) (4)
\(\text{T}ừ\text{ (3) và (4) suy ra hình bình hành ABCD là hình chữ nhật}\) (đpcm)
a) Vì A là góc vuông
=> A1 = A2 = A / 2= 90* / 2= 45*
Vì D1 = A2 = 45* ( ở vị trí so le trong)
=> AB // DK
A B C H D E
Vì \(AE=AH\)nên: \(\Delta AHE\)cân tại A \(\Rightarrow\)\(\widehat{EAD}=\widehat{HAD}\)( Định lí )
Xét \(\Delta HAD\)và \(\Delta EAD\)có:
\(AE=AH\)\(\left(GT\right)\)
\(\widehat{EAD}=\widehat{HAD}\)( chứng minh trên )
\(AD\)chung
\(\Rightarrow\)\(\Delta HAD=\Delta EAD\)( c-g-c )
\(\Rightarrow\)\(\widehat{DEA}=\widehat{DHA}=90^0\)hay \(DE\perp AC\)( ĐCCM )
\(\Rightarrow\)\(\Delta DEC\)vuông tại E
Ta có: \(BC+AH>AC+AB\)
\(\Leftrightarrow BD+DC+AH>AE+EC+AB\)
\(\Leftrightarrow DC>EC\)( luôn đúng ) *
Chú thích: * : Vì trong tam giác vuông hình chiếu luôn bé hơn cạnh huyền
a) Chứng minh HE = HA
Xét hai tam giác vuông AHA và EHD:
Xét tam giác vuông HEA, trong đó:
⇒ HE = HA
b) Chứng minh EH ⊥ EK, với K là trung điểm của BD
⇒ Hai điểm K và H lần lượt là trung điểm của BD và DC
⇒ Đoạn nối K và H là đường trung bình của tam giác BDC
⇒ KH // BC
⇒ EH ⊥ AH
Mà AH ⊥ KH ⇒ EH ⊥ KH
Mà điểm K nằm trên KH ⇒ EH ⊥ EK