Question

[Ngô Minh Quân]

đố các bạn

Tổng P+Q là ? Biết

P=2x101+3x100+4x99+…+99x4+100x3+101x2

Q=2^2+3^2+4^2+5^2+…+99^2+100^2+101^2

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: \(P=2\cdot101+3\cdot100+\cdots+100\cdot3+101\cdot2\)

\(=2\left\lbrack2\cdot101+3\cdot100+\cdots+50\cdot53+51\cdot52\right\rbrack\)

\(=2\cdot\left\lbrack2\left(103-2\right)+3\left(103-3\right)+\cdots+51\left(103-51\right)\right\rbrack\)

\(=2\cdot\left\lbrack103\left(2+3+\cdots+51\right)-\left(2^2+3^2+\ldots+51^2\right)\right\rbrack\)

Đặt \(A=2+3+\cdots+51\)

Số số hạng của dãy số là: \(\frac{51-2}{1}+1=51-2+1=51-1=50\) (số)

Tổng của dãy số là: \(\left(51+2\right)\cdot\frac{50}{2}=53\cdot25=1325\)

Đặt \(B=2^2+3^2+\cdots+51^2\)

\(=\left(1^2+2^2+\cdots+51^2\right)-1\)

\(=\frac{51\left(51+1\right)\left(2\cdot51+1\right)}{6}-1=\frac{51\cdot52\cdot103}{6}-1=17\cdot26\cdot103-1\)

=45526-1

=45525

Ta có: \(P=2\cdot\left\lbrack103\left(2+3+\cdots+51\right)-\left(2^2+3^2+\ldots+51^2\right)\right\rbrack\)

\(=2\cdot\left\lbrack103\cdot1325-45525\right\rbrack=2\cdot90950=181900\)

\(Q=2^2+3^2+\cdots+101^2\)

\(=\left(1^2+2^2+\cdots+101^2\right)-1\)

\(=\frac{101\left(101+1\right)\left(2\cdot101+1\right)}{6}-1=\frac{101\cdot102\cdot203}{6}-1\)

\(=101\cdot17\cdot203-1=348551-1=348550\)

=>P+Q=181900+348550=530450

Answer 2

[Nguyễn Gia Bảo]

?

Answer 3

[Phan Quốc Huy]

Gọi tổng theo chỉ số \(k\) từ 2 đến 101.

\(P = \sum_{k = 2}^{101} k \left(\right. 103 - k \left.\right) = 103 \sum_{k = 2}^{101} k - \sum_{k = 2}^{101} k^{2}\).
\(Q = \sum_{k = 2}^{101} k^{2}\).

Vậy \(P + Q = 103 \sum_{k = 2}^{101} k\) (vì các tổng \(k^{2}\) triệt tiêu nhau).

Tổng các số từ 2 đến 101 là \(\sum_{k = 2}^{101} k = \sum_{k = 1}^{101} k - 1 = \frac{101 \cdot 102}{2} - 1 = 5151 - 1 = 5150.\)

Do đó

\(P + Q = 103 \times 5150 = 5150 \times 100 + 5150 \times 3 = 515000 + 15450 = 530450.\)