Question

[Phạm Anh Thư]

Tìm ƯCLN của 2n - 1 và 9n + 4 (với n thuộc số tự nhiên

Answer 1

[Đỗ Minh Phong]

gcd(2n−1,9n+4)={17,1,​n ≡ 9 (mod 17)ngược lại​
ok bro

Answer 2

[Trần Tuấn Minh]

chịu òi -))

Answer 3

[Lưu Quang Vũ]

cho xin like nha

Gọi \(d = Ư\text{CLN} \left(\right. 2 n - 1 , 9 n + 4 \left.\right)\).

Theo tính chất: Nếu \(d\) chia cả 2n - 1 và 9n + 4, thì \(d\) cũng chia các tổ hợp tuyến tính:

\(9 n + 4 - 4 \left(\right. 2 n - 1 \left.\right) = 9 n + 4 - 8 n + 4 = n + 8\)

Vậy \(d\) chia \(n + 8\).

Tiếp tục:

\(2 n - 1 - \left(\right. n + 8 \left.\right) = n - 9\)

Vậy \(d\) chia \(n - 9\).

Nếu \(d\) chia \(n - 9\) và \(n + 8\), thì \(d\) chia hiệu:

\(\left(\right. n + 8 \left.\right) - \left(\right. n - 9 \left.\right) = 17\)

Vậy ƯCLN của 2n - 1 và 9n + 4 là một ước của 17.

• 17 là số nguyên tố, nên ƯCLN chỉ có thể là 1 hoặc 17.
• Nếu \(d = 17\), thì phải có\(n - 9 \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 17 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } n = 9 + 17 k , \textrm{ } k \in \mathbb{N} \cup \left{\right. 0 \left.\right}\)
• Nếu không, ƯCLN = 1.

Answer 4

[Lưu Quang Vũ]

• Nếu \(d = 17\), thì phải có:

\(n - 9 \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 17 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } n = 9 + 17 k , \textrm{ } k \in \mathbb{N} \cup \left{\right. 0 \left.\right}\)

• Nếu không, ƯCLN = 1.

Answer 5

[Quoc Tran Anh Le]

Đặt d = ƯCLN(2n - 1, 9n + 4).

Ta có:
d | (2n - 1)
d | (9n + 4)

Suy ra:
d | [9(2n - 1) - 2(9n + 4)]
= 18n - 9 - 18n - 8
= -17

Vậy d | 17.

Do 17 là số nguyên tố nên d = 1 hoặc d = 17.

Xét theo n:
Nếu 2n - 1 ≡ 0 (mod 17)
⇒ 2n ≡ 1 (mod 17)
⇒ n ≡ 9 (mod 17).

Khi đó:
9n + 4 ≡ 9 × 9 + 4 = 85 ≡ 0 (mod 17).

Vậy:
Nếu n ≡ 9 (mod 17) thì ƯCLN(2n - 1, 9n + 4) = 17.
Nếu n không ≡ 9 (mod 17) thì ƯCLN(2n - 1, 9n + 4) = 1.