Bài 1. (Chứng minh phân số tối giản)
a) Cho phân số
\(A = \frac{2 n + 1}{- 3 n - 1} .\)
Chứng tỏ \(A\) là phân số tối giản với mọi số nguyên \(n\).
b) Chứng tỏ phân số
\(B = \frac{4 n - 3}{5 n - 4}\)
là phân số tối giản với mọi số tự nhiên \(n\).
Bài 2. (So sánh dãy số)
a) Cho
\(A=\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\ldots+\frac{1}{100^{2}}.\)
So sánh \(A\) với \(\frac{1}{2}\).
b) Cho
\(A=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{2014^{2}}.\)
Chứng tỏ \(A < \frac{3}{4}\).
c) Cho
\(A=\frac{1}{3^{2}}+\frac{3}{3^{4}}+\frac{5}{3^6}+\ldots+\frac{99}{3^{100}}.\)
Chứng minh \(A < \frac{5}{32}\).
Bài 3. (Tìm \(n\) nguyên)
a) Tìm các giá trị của \(n \in \mathbb{Z}\) để biểu thức
\(A = \frac{2 n + 2}{2 n - 4}\)
có giá trị là số tự nhiên.
b) Tìm số tự nhiên \(n \neq 2\) để
\(\frac{2 n - 1}{n - 2}\)
là số nguyên.
c) Tìm số nguyên \(x , y\) biết:
\(\frac{x}{3} - \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{3} .\)
Bài 4. (Tính tỉ số biểu thức)
Cho
\(A=92-\frac{1}{9}-\frac{2}{10}-\ldots-\frac{92}{100}\)
và
\(B=\frac{1}{45}+\frac{1}{50}+\frac{1}{55}+\ldots+\frac{1}{500}.\)
Tính \(\frac{A}{B}\).
Bài 5. (Dãy số quy luật)
Tìm số tự nhiên \(x\), biết:
\(\frac{1}{1 \cdot3}+\frac{1}{3 \cdot5}+\frac{1}{5 \cdot7}+\ldots+\frac{1}{x \left(\right. x + 2 \left.\right)}=\frac{5}{12}.\)
Bài 5:
Ta có: \(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+2\right)}=\frac{5}{12}\)
=>\(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\cdots+\frac{2}{x\left(x+2\right)}=\frac{10}{12}=\frac56\)
=>\(1-\frac13+\frac13-\frac15+\cdots+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac56\)
=>\(1-\frac{1}{x+2}=\frac56\)
=>\(\frac{1}{x+2}=\frac16\)
=>x+2=6
=>x=4
Bài 4:
\(A=92-\frac19-\frac{2}{10}-\cdots-\frac{92}{100}\)
\(=\left(1-\frac19\right)+\left(1-\frac{2}{10}\right)+\cdots+\left(1-\frac{92}{100}\right)\)
\(=\frac89+\frac{8}{10}+\cdots+\frac{8}{100}=8\left(\frac19+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{100}\right)\)
\(B=\frac{1}{45}+\frac{1}{50}+\cdots+\frac{1}{500}\)
\(=\frac15\left(\frac19+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{100}\right)\)
Do đó; \(\frac{A}{B}=\frac{8}{\frac15}=8\cdot5=40\)
Khó quá