Question

[Đoàn Lê Hải]

Answer 1

[KUDOSHINICHI Vn]

Bài 2Cho hai biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\) và \(B = \frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} + \frac{2}{x-1}\) với \(x \geq 0; x \neq 1\).a. Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 25\)

• Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\):
  \(A=\frac{\sqrt{25}-2}{\sqrt{25}+1}=\frac{5-2}{5+1}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
• Kết luận: Khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{1}{2}\).

b. Chứng minh \(B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

• Đổi dấu ở mẫu số của phân thức thứ hai: \(-\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} = +\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)
• Ta có mẫu thức chung (MTC) là \(x - 1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)\). Quy đồng mẫu thức:
  \(B=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
  \(B=\frac{\sqrt{x}-1+x+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
• Thu gọn tử thức thành hằng đẳng thức: \(x + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x}+1)^2\)
  \(B=\frac{(\sqrt{x}+1)^{2}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\quad \text{(Điu\ phi\ chng\ minh)}\)

c. Đặt \(P = A \cdot B\). Tìm các giá trị của \(x\) để \(P = \frac{5}{2}\)

• Tính biểu thức \(P\):
  \(P=A\cdot B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)
• Cho \(P = \frac{5}{2}\):
  \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}=\frac{5}{2}\implies 2(\sqrt{x}-2)=5(\sqrt{x}-1)\)
  \(2\sqrt{x}-4=5\sqrt{x}-5\implies 3\sqrt{x}=1\implies \sqrt{x}=\frac{1}{3}\implies x=\frac{1}{9}\)
• Đối chiếu điều kiện \(x \geq 0, x \neq 1\), giá trị \(x = \frac{1}{9}\) thỏa mãn.
• Kết luận: \(x = \frac{1}{9}\).

Bài 3Cho biểu thức \(A = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\) và \(B = \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2} + \frac{1}{2-\sqrt{x}} + \frac{12}{x-4}\) với \(x \geq 0; x \neq 4\).a. Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 9\)

• Lưu ý: Biểu thức \(A\) có mẫu là \(\sqrt{x}-3\) nên điều kiện xác định đúng của riêng \(A\) cần thêm \(x \neq 9\). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính tại \(x=9\) có thể là lỗi đề bài (mẫu bằng 0). Nếu sửa mẫu thức của \(A\) thành \(\sqrt{x}+3\):
  \(A=\frac{4\sqrt{9}}{\sqrt{9}+3}=\frac{4\cdot 3}{3+3}=\frac{12}{6}=2\)

b. Rút gọn biểu thức \(B\)

• Đổi dấu phân thức thứ hai: \(\frac{1}{2-\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}-2}\). MTC là \(x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\).
  \(B=\frac{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-2)}{x-4}-\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}+\frac{12}{x-4}\)
  \(B=\frac{x+3\sqrt{x}-10-\sqrt{x}-2+12}{x-4}=\frac{x+2\sqrt{x}}{x-4}\)
  \(B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

c. Đặt \(P = A : B\). Tìm \(x\) để \(P = 2\)

• Giả sử biểu thức chuẩn là \(A = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\) (theo form kết quả cột bên phải của ảnh):
  \(P=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\cdot \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{4(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}+2}\)
• Cho \(P = 2\):
  \(\frac{4(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}+2}=2\implies 4\sqrt{x}-8=2\sqrt{x}+4\implies 2\sqrt{x}=12\implies \sqrt{x}=6\implies x=36\)
• Đối chiếu điều kiện thỏa mãn. Kết luận: \(x = 36\).

Dạng 2. Bài 1Cho biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\) và \(B = \frac{x+\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}-2}\) với \(x > 0; x \neq 4\).a. Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 9\)

• Thay \(x = 9\) vào \(A\):
  \(A=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-2}=\frac{3+2}{3-2}=5\)

b. Chứng minh \(B = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

• Ta có mẫu thức thứ nhất: \(x - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)\). Đây cũng là MTC.
  \(B=\frac{x+\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)
  \(B=\frac{x+\sqrt{x}-4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{x-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)
• Phân tích tử thức thành nhân tử: \(x-4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\)
  \(B=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\quad \text{(Điu\ phi\ chng\ minh)}\)

c. Tìm số nguyên dương \(x\) lớn nhất để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\)

• Tính tỉ số \(\frac{A}{B}\):
  \(\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)
• Giải bất phương trình:
  \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}<\frac{1}{2}\implies \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{1}{2}<0\implies \frac{2\sqrt{x}-(\sqrt{x}-2)}{2(\sqrt{x}-2)}<0\implies \frac{\sqrt{x}+2}{2(\sqrt{x}-2)}<0\)
• Vì tử thức \(\sqrt{x}+2 > 0\) với mọi \(x>0\), nên để phân thức âm thì mẫu thức phải âm:
  \(2(\sqrt{x}-2)<0\implies \sqrt{x}<2\implies x<4\)
• Kết hợp điều kiện \(x > 0\), ta có \(0 < x < 4\).
• Do \(x\) là số nguyên dương lớn nhất, suy ra \(x = 3\).

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1:

a: Thay x=25 vào A, ta được:

\(A=\frac{\sqrt{25}+3}{\sqrt{25}}=\frac{5+3}{5}=\frac85\)

b:\(B=\frac{1}{\sqrt{x}-3}+\frac{x+\sqrt{x}}{x-9}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+3+x+\sqrt{x}+\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

c: P=A*B

\(=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+6}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{6}{\sqrt{x}-3}\)

Để P là số nguyên thì 6⋮\(\sqrt{x}-3\)

=>\(\sqrt{x}-3\in\left\lbrace1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\rbrace\)

=>\(\sqrt{x}\) ∈{4;2;5;1;6;0;9}

=>x∈{16;4;25;1;36;0;81}

kết hợp ĐKXĐ, ta được: x∈{1;4;16;25;36;81}

Dạng 3:

Bài 1:

a: Thay x=9 vào A, ta được:

\(A=\frac{9+3}{\sqrt9+1}=\frac{12}{3+1}=\frac{12}{4}=3\)

b: \(B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{-\sqrt{x}+1+x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

c: P=B*A

\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{x+4}=\frac{\sqrt{x}-1}{x+4}\)

=>\(\frac{1}{P}=\frac{x+4}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+5}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{5}{\sqrt{x}-1}\)

=>\(\frac{1}{P}=\sqrt{x}-1+\frac{5}{\sqrt{x}-1}+2\ge2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\frac{5}{\sqrt{x}-1}}+2=2\sqrt5+2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=5\)

=>\(\sqrt{x}-1=\sqrt5\)

=>\(\sqrt{x}=\sqrt5+1\)

=>\(x=6+2\sqrt5\) (nhận)

Bài 2:

a: Thay x=24 vào A, ta được:

\(A=\frac{\sqrt{24}+1}{24+4}=\frac{2\sqrt6+1}{28}\)

b: \(B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2}{x-1}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-2\left(\sqrt{x}-1\right)-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

c: P=A*B

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{x+24}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{x+24}\)

=>\(\frac{1}{P}=\frac{x+24}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{24}{\sqrt{x}}\ge2\cdot\sqrt{\sqrt{x}\cdot\frac{24}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{24}=4\sqrt6\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(P\le\frac{1}{4\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{24}\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi x=24

Dạng 2:

Bài 1:

a: Thay x=9 vào A, ta được:

\(A=\frac{\sqrt9+2}{\sqrt9-2}=\frac{3+2}{3-2}=5\)

b: \(B=\frac{x+\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

c: \(\frac{A}{B}<\frac12\)

=>\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}<\frac12\)

=>\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac12<0\)

=>\(\frac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2}{2\left(\sqrt{x}-2\right)}<0\)

=>\(\frac{\sqrt{x}+2}{2\left(\sqrt{x}-2\right)}<0\)

=>\(\sqrt{x}-2<0\)

=>\(\sqrt{x}<2\)

=>0<x<4

Bài 2:

a: Thay x=1 vào A, ta được:

\(A=\frac{1+2}{1-3}=\frac{3}{-2}=-\frac32\)

b: \(B=\frac{3}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{x+4}{x-4}\)

\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{3\sqrt{x}-6-x-2\sqrt{x}+x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

c: P=A*B

\(=\frac{1}{\sqrt{x}+2}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}=\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)

P>=-1/3

=>\(P+\frac13\ge0\)

=>\(\frac{1}{\sqrt{x}-3}+\frac13\ge0\)

=>\(\frac{3+\sqrt{x}-3}{3\left(\sqrt{x}-3\right)}\ge0\)

=>\(\frac{\sqrt{x}}{3\left(\sqrt{x}-3\righ...