Question

[Nguyễn Tiến Thành]

Bài 1: Cho MA, MB là các tiếp điểm của đường tròn (O), trong đó A, B là các tiếp điểm. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Đường thẳng CM cắt lại đường tròn (O) tại E. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Câu a: Chứng minh rằng góc BCM = góc ACH. Câu b: Chứng minh rằng góc HEB = 90 độ.

Answer 1

[🎧ྀི 𝓑𝓾̀𝓲 𝓠𝓾𝓪𝓷𝓰 Đạ𝕥 (҂ `з´) ︻╦̵̵̿╤─...]

Dưới đây là lời giải chi tiết cho Bài 1:

Đề bài:

Cho $MA, MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ ($A, B$ là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $AC$ của đường tròn $(O)$. Đường thẳng $CM$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $MO$ và $AB$.

• Câu a: Chứng minh rằng $\widehat{BCM} = \widehat{ACH}$.
• Câu b: Chứng minh rằng $\widehat{HEB} = 90^\circ$.

Lời giải:

Câu a: Chứng minh $\widehat{BCM} = \widehat{ACH}$

1. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
   
2. • $MA = MB \implies \triangle MAB$ cân tại $M$.
   • $OA = OB = R \implies O$ nằm trên đường trung trực của $AB$.
   • Do đó, $MO \perp AB$ tại $H$ và $H$ là trung điểm của $AB$.
3. Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle MAO$ vuông tại $A$:
   
4. • Vì $AH \perp MO$, ta có:
     $$MA^2 = MH \cdot MO$$
5. Xét hai tam giác đồng dạng $\triangle MAE$ và $\triangle MCA$:
   
6. • $\widehat{AME}$ là góc chung.
   • $\widehat{MAE} = \widehat{MCA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $AE$ bằng góc nội tiếp chắn cung $AE$).
   • Suy ra $\triangle MAE \sim \triangle MCA$ (g.g).
   • Do đó:
     $$\frac{MA}{MC} = \frac{ME}{MA} \implies MA^2 = ME \cdot MC$$
7. Chứng minh $\triangle MEH \sim \triangle MOC$:
   
8. • Từ $MA^2 = MH \cdot MO$ và $MA^2 = ME \cdot MC$, ta có:
     $$ME \cdot MC = MH \cdot MO \implies \frac{ME}{MO} = \frac{MH}{MC}$$
   • Xét $\triangle MEH$ và $\triangle MOC$:
     
   • • Góc $\widehat{OMC}$ chung.
     • $\frac{ME}{MO} = \frac{MH}{MC}$.
   • Suy ra $\triangle MEH \sim \triangle MOC$ (c.g.c).
   • Từ đó: $\widehat{MEH} = \widehat{MOC}$ hay $\widehat{MEH} = \widehat{HOC}$.
9. Xét tứ giác $OEHC$:
   
10. • Tứ giác $OEHC$ có góc ngoài $\widehat{MEH}$ bằng góc trong đối diện $\widehat{HOC}$.
    • Suy ra $OEHC$ là tứ giác nội tiếp.
    • Do đó, $\widehat{OCH} = \widehat{OEH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $OH$).
11. Tính chất tam giác cân $OEB$:
    
12. • Vì $OE = OB = R \implies \triangle OEB$ cân tại $O \implies \widehat{OEB} = \widehat{OBE}$.