Question

[Ng Bảo Uyên]

Cho tam giác ABC nhọn và AB<AC. Các đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc EHB cắt AB tại P, tia phân giác của góc DHC cắt AC tại Q. Qua P kẻ đường thẳng song song với EH cắt BH tại M, qua Q kẻ đường thẳng song song với HD cắt CH tại N. Gọi I và K lần lượt là trung điểm MN và BC. Chứng minh H,I,K thẳng hàng

Answer 1

[🧸 Baby shark, doo doo doo♫]

Ta có CE ⟂ AB, BD ⟂ AC nên:

góc BEH = góc CDH = \(90°\)

Lại có:

góc EHB = góc DHC

Suy ra:

tam giác EHB ∼ tam giác DHC

Do đó:

EH/HB = HD/HC (1)

Vì HP là tia phân giác của góc EHB nên theo định lí đường phân giác trong tam giác EHB:

EP/PB = EH/HB (2)

Từ (1) và (2):

EP/PB = HD/HC

Qua P kẻ PM // EH.

Xét tam giác BEH, có PM // EH nên:

BM/BH = BP/BE

Suy ra:

HM/HB = 1 - BM/BH
= 1 - BP/BE
= (BE - BP)/BE
= EP/BE

Mà theo (2):

EP/PB = EH/HB

Suy ra:

EP/BE = EH/(EH + HB)

Vậy:

HM/HB = EH/(EH + HB) (3)

Tương tự, vì HQ là tia phân giác của góc DHC nên:

DQ/QC = HD/HC

Qua Q kẻ QN // HD.

Xét tam giác CDH, có QN // HD nên:

CN/CH = CQ/CD

Suy ra:

HN/HC = DQ/DC
= HD/(HD + HC) (4)

Từ (1):

EH/HB = HD/HC

nên:

EH/(EH + HB) = HD/(HD + HC)

Từ (3) và (4):

HM/HB = HN/HC

Trong tam giác HBC, M thuộc HB, N thuộc HC nên theo định lí Ta-lét đảo:

MN // BC

Vì I là trung điểm MN, K là trung điểm BC nên trong tam giác HBC, đường thẳng IK đi qua trung điểm của MN và BC

Suy ra:

H, I, K thẳng hàng

Vậy H, I, K thẳng hàng

Answer 2

[phong nguyen]

dễ CM: △ABD~△ACE

=> góc EBH=góc QCN

=> △PMB~△QNC

=> \(\frac{MB}{NC}=\frac{PM}{NQ}\Rightarrow\frac{MB}{PM}=\frac{NC}{NQ}\)

mà ta có góc HQN= góc DHQ

góc DHQ= góc QHN

=> góc QHN= góc HQN

=> △HNQ cân tại N=> HN=NQ

CMTT: △ HPM cân tại M=> PM=NH

=> \(\frac{MB}{NH}=\frac{NC}{NH}\)

=> MN//BC

gọi gioa của HI với BC là K'

=> \(\frac{MI}{BK^{\prime}}=\frac{HI}{HK^{\prime}}\) và \(\frac{IN}{KC^{\prime}}=\frac{HI}{HK^{\prime}}\)

=> \(\frac{MI}{BK^{\prime}}=\frac{IN}{KC^{\prime}}\)

vì MI=IN=> BK'=CK'=> K' là trung điểm BC

=> K' trùng K

=> H,I,K thẳng hàng(đpcm)