Question

[# Tue Linh ! (Gaixaulopa1 !)]

Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. M, N là trung điểm BC, OD. Chứng minh tam giác MAN vuông cân.

Answer 1

[Duy Trần]

Đề bài:Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $OD$. Chứng minh $\Delta MAN$ vuông cân tại $N$.

Lời giải:

Gọi $E$ là trung điểm của $OB$.
1. Chứng minh $ME$ là đường trung bình và vuông góc với $BD$:

• Trong $\Delta OBC$, có $M$ là trung điểm $BC$ và $E$ là trung điểm $OB$.$\Rightarrow ME$ là đường trung bình của $\Delta OBC$.
• Do đó:
  
• • $ME // OC$ (mà $OC \perp OB$ nên $ME \perp BD$ tại $E$).
  • $ME = \frac{1}{2} OC$.

2. So sánh độ dài các đoạn thẳng $ME, NE, OA$:

• Do $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:
  $$OA = OB = OC = OD$$
• Ta có:
  
• • $ME = \frac{1}{2} OC = \frac{1}{2} OA$ $\Rightarrow OA = 2ME$.
  • $E$ là trung điểm $OB \Rightarrow OE = \frac{1}{2} OB = \frac{1}{2} OA$.
  • $N$ là trung điểm $OD \Rightarrow ON = \frac{1}{2} OD = \frac{1}{2} OA$.
• Đoạn $NE = OE + ON = \frac{1}{2} OA + \frac{1}{2} OA = OA$.$\Rightarrow NE = 2ME$, hay $ME = \frac{1}{2} NE$.

3. Chứng minh $\Delta AON = \Delta MEN$:

• Xét $\Delta AON$ vuông tại $O$ (do $AC \perp BD$ tại $O$):
  
• • $OA = NE$ (chứng minh trên).
  • $ON = ME$ (vì cùng bằng $\frac{1}{2} OA$).
  • $\widehat{AON} = \widehat{MEN} = 90^\circ$ (do $ME \perp BD$).
• Suy ra: $\Delta AON = \Delta MEN$ (cạnh - góc - cạnh).

4. Kết luận $\Delta MAN$ vuông cân tại $N$:

• Từ $\Delta AON = \Delta MEN$, ta suy ra:
  
• 1. $AN = MN$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta MAN$ cân tại $N$.
  2. $\widehat{ANO} = \widehat{MNE}$ (hai góc tương ứng).
• Xét góc $\widehat{ANM}$:
  $$\widehat{ANM} = \widehat{ANO} + \widehat{ONA}$$Mà $\widehat{ANO} = \widehat{MNE}$, nên:
  $$\widehat{ANM} = \widehat{MNE} + \widehat{ONA} = \widehat{ENO} = 90^\circ$$

Vậy tam giác $MAN$ vuông cân tại $N$.

Answer 2

[Trần Bảo An]

Answer 3

[🏅𝓣𝖍𝖚̉y✨𝓣𝖎ê𝖓⁀²ᵏ¹³]

Gọi I là trung điểm của OA. Vì I, N lần lượt là trung điểm của OA, OD nên IN là đường trung bình của tam giác OAD. Suy ra IN song song với AD và IN = 1/2 AD.Mặt khác, M là trung điểm của BC nên BM song song với AD và BM = 1/2 BC = 1/2 AD. Do đó, IN song song với BM và IN = BM, dẫn đến tứ giác INMB là hình bình hành. Từ đây suy ra MN song song với BI và MN = BI (1).Xét tam giác ABI và tam giác DAN có: AB = DA (cạnh hình vuông); góc BAI = góc ADN = 45 độ (tính chất đường chéo hình vuông); AI = DN (vì cùng bằng 1/2 OA = 1/2 OD). Suy ra tam giác ABI bằng tam giác DAN (cạnh - góc - cạnh). Từ đó ta có BI = AN (2) và góc ABI = góc DAN.Từ (1) và (2) suy ra AN = MN (vì cùng bằng BI).Gọi G là giao điểm của AN và BI. Ta có góc BAG + góc DAN = góc BAD = 90 độ. Mà góc DAN = góc ABI nên góc BAG + góc ABI = 90 độ. Xét tam giác ABG có góc BAG + góc ABI = 90 độ nên góc AGB = 90 độ, hay BI vuông góc với AN. Vì MN song song với BI nên MN vuông góc với AN tại N.Tam giác MAN có AN = MN và góc ANM = 90 độ nên tam giác MAN vuông cân tại N.

Answer 4

[# Tue Linh ! (Gaixaulopa1 !)]

nhma góc ANO sao bằng góc ENM đc ?