Question

[Duy Minh Phạm]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AH lấy D, trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho AD=HE. Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB vuông góc với EF

Answer 1

[Nguyễn Đỗ Quỳnh Chi]

• 1.
• Hệ thức lượng: $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH \Rightarrow AH^2 = HB \cdot HC$.
• Định lý Thales: Vì $DF \perp AH$ và $BC \perp AH \Rightarrow DF \parallel BC$.$$\Rightarrow \frac{DF}{HC} = \frac{AD}{AH}$$
• Thay giả thiết: Thay $AD = HE$ vào biểu thức trên, ta được:$$DF = \frac{HE \cdot HC}{AH}$$

2.

Xét vị trí các điểm, ta có $DE = DH + HE = DH + AD = AH \Rightarrow \mathbf{DE = AH}$.

Lập tỉ số giữa hai tam giác vuông $\triangle BHE$ và $\triangle FDE$ (có $\widehat{BHE} = \widehat{FDE} = 90^\circ$):

$$\frac{DF}{DE} = \frac{DF}{AH} = \frac{HE \cdot HC}{AH^2}$$

Thay $AH^2 = HB \cdot HC$ vào:

$$\frac{DF}{DE} = \frac{HE \cdot HC}{HB \cdot HC} = \frac{HE}{HB}$$

Vì $\frac{DF}{DE} = \frac{HE}{HB}$ và $\widehat{FDE} = \widehat{BHE} = 90^\circ$, nên:

$$\triangle FDE \sim \triangle BHE \text{ (c.g.c)}$$

3. Kết luận vuông góc

Từ $\triangle FDE \sim \triangle BHE \Rightarrow \widehat{DFE} = \widehat{HBE}$.

Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Do $DF \parallel BC$ nên $\widehat{DFE} = \widehat{EIB}$ (hai góc so le trong).

$$\Rightarrow \widehat{HBE} = \widehat{EIB} \text{ (hay } \widehat{IBE} = \widehat{EIB}\text{)}$$

Trong $\triangle HBE$ vuông tại $H$, ta có: $\widehat{HBE} + \widehat{HEB} = 90^\circ$.

Suy ra: $\widehat{EIB} + \widehat{IEB} = 90^\circ$.

Xét $\triangle IBE$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

$$\widehat{BEI} = 180^\circ - (\widehat{EIB} + \widehat{IBE}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$

Vậy $\widehat{BEF} = 90^\circ \Rightarrow \mathbf{EB} \perp \mathbf{EF}$ (Đpcm).

Answer 2

[Wxrdie & MCK :))]

"đường thẳng vuông góc với `AH` tại `D` cắt `AC` tại `F`"

vs đk này, khi dựng hình tổng quát sẽ cs TH `EB` ko vuông góc `EF`, nên kết luận ko đúng; vì vậy đề bài của bn sai(sai ở vị trí điểm F/thiếu đk)

Answer 3

[nô nem]

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $AH \perp BC$:

$$AH^2 = HB \cdot HC \implies \frac{AH}{HC} = \frac{HB}{AH}$$

Vì $DF \perp AH$ tại $D$ và $BC \perp AH$ tại $H \implies DF \parallel BC$:

$$\triangle ADF \sim \triangle AHC \implies \frac{AD}{AH} = \frac{DF}{HC} \implies \frac{AH}{HC} = \frac{AD}{DF}$$

Suy ra:

$$\frac{HB}{AH} = \frac{AD}{DF}$$

Do $AD = HE$, ta có:

$$AH = AD + DH = HE + DH = DE$$

Thay $AD = HE$ và $AH = DE$ vào tỉ số trên:

$$\frac{HB}{DE} = \frac{HE}{DF} \implies \frac{HB}{HE} = \frac{DE}{DF}$$

Xét $\triangle HBE$ và $\triangle DEF$:

$$\widehat{BHE} = \widehat{EDF} = 90^\circ$$$$\frac{HB}{HE} = \frac{DE}{DF}$$$$\implies \triangle HBE \sim \triangle DEF \text{ (c-g-c)}$$$$\implies \widehat{HEB} = \widehat{DFE}$$

Trong $\triangle DEF$ vuông tại $D$:

$$\widehat{DFE} + \widehat{DEF} = 90^\circ \implies \widehat{HEB} + \widehat{DEF} = 90^\circ$$

Ta có:

$$\widehat{BEF} = 180^\circ - (\widehat{HEB} + \widehat{DEF}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$$$\implies EB \perp EF$$

Answer 4

[Wxrdie & MCK :))]

"Đường thẳng vuông góc với `AH` tại `D` cắt `AC` tại `F`"

Vs đk này, khi dựng hình tổng quát sẽ cs TH `EB` ko vuông góc `EF`, nên kết luận ko đúng; vì vậy đề bài của bn sai (khả năng cao là sai ở vị trí điểm F/thiếu đk)

Answer 5

[phong nguyen]

ta có AH=AD+DH

DE=DH+HE

mà AD=HE

=> AH=DE

xét tam giác BHE vuông tại E có:

\(BE^2=BH^2+HE^2\)

xét tam giác EDF vuông tại D có:

\(EF^2=ED^2+DF^2\)

=> \(BE^2+EF^2=\left(BH^2+HE^2\right)+\left(ED^2+DF^2\right)\)

Thay HE=AD và ED=AH ta có:

\(BE^2+EF^2=\left(BH^2+AD^2\right)+\left(AH^2+DF^2\right)\)

\(BE^2+EF^2=\left(BH^2+AH^2\right)+\left(AD^2+DF^2\right)\)

xét tam giác ABH vuông tại H có:

\(BH^2+AH^2=AB^2\)

xét tam giác ADF vuông tại D có:

\(AD^2+DF^2=AF^2\)

=> \(BE^2+EF^2=AB^2+AF^2\)

xét tam giác ABF vuông tại A có:

\(AB^2+AF^2=BF^2\)

=> \(BE^2+EF^2=BF^2\)

=> Tam giác BEF vuông tại E

=> EB⊥EF (đpcm)

Answer 6

[Quoc Tran Anh Le]

Gọi AH là trục thẳng đứng, vì DF vuông góc AH và AC vuông góc AB nên ta đặt hệ trục tọa độ như sau:
A(0;0), AB nằm trên trục Ox, AC nằm trên trục Oy
B(b;0), C(0;c), H thuộc BC
Vì AH vuông góc BC nên đường BC có hệ số góc -c/b, do đó AH có hệ số góc b/c
Lấy D trên AH, đặt D(tc; tb), khi đó AD = t căn(b^2 + c^2)
E nằm trên tia đối của HA và AD = HE, mà H, A, D, E thẳng hàng nên E = H + AD theo hướng từ H về A kéo dài
Từ tính chất tọa độ của hình chiếu trong tam giác vuông, H(bc^2/(b^2+c^2); b^2c/(b^2+c^2))
Suy ra E có tọa độ phù hợp để tính được hệ số góc EB và EF
Vì DF vuông góc AH nên DF có hệ số góc -c/b, F thuộc AC nên F(0; y)
Tính theo hệ số góc ta được kEB . kEF = -1
Vậy EB vuông góc EF, vì tích hai hệ số góc bằng -1 nên hai đường thẳng vuông góc.