Câu hỏi của 🏳🌈 💔 🥀 Diep Vinh Chi 🕊️ 🌹 🏳️⚧️

Question

Bài 7: △ABC nhọn có hai đường cao BD, CE. Trên tia đối của tia BD, lấy điểm M sao cho BM = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm N sao cho CN = AB. Chứng minh:

a) ∠ABM = ∠AC...

Anbachha · Accepted Answer

a: ta có: $ABM^+ABD^=1800ABM^+ABD^=1800$ (hai góc kề bù)

$ACN^+ACE^=1800ACN^+ACE^=1800$ (hai góc kề bù)

mà $ABD^=ACE^(=900−BAC^)ABD^=ACE^(=900−BAC^)$

nên $ABM^=NCA^ABM^=NCA^$

b:

Xét ΔABM và ΔNCA có

AB=NC

$ABM^=NCA^ABM^=NCA^$

BM=CA

Do đó: ΔABM=ΔNCA

c: ΔABM=ΔNCA

=>AM=NA và $BAM^=CNA^;AMB^=NAC^BAM^=CNA^;AMB^=NAC^$

$MAB^+BAN^=CNA^+BAN^=ANE^+EAN^=900MAB^+BAN^=CNA^+BAN^=ANE^+EAN^=900$

=>$MAN^=900MAN^=900$

=>ΔAMN vuông cân tại A

Câu trả lời:

a: ta có: $ABM^+ABD^=1800ABM^+ABD^=1800$ (hai góc kề bù)

$ACN^+ACE^=1800ACN^+ACE^=1800$ (hai góc kề bù)

mà $ABD^=ACE^(=900−BAC^)ABD^=ACE^(=900−BAC^)$

nên $ABM^=NCA^ABM^=NCA^$

b:

Xét ΔABM và ΔNCA có

AB=NC

$ABM^=NCA^ABM^=NCA^$

BM=CA

Do đó: ΔABM=ΔNCA

c: ΔABM=ΔNCA

=>AM=NA và $BAM^=CNA^;AMB^=NAC^BAM^=CNA^;AMB^=NAC^$

$MAB^+BAN^=CNA^+BAN^=ANE^+EAN^=900MAB^+BAN^=CNA^+BAN^=ANE^+EAN^=900$

=>$MAN^=900MAN^=900$

=>ΔAMN vuông cân tại A

Nguyễn Tùng Bách · Answer

Giải bài 7a) Chứng minh $\angle ABM = \angle ACN$

Ta có $BD \perp AC$ (do $BD$ là đường cao), nên tam giác $ABD$ vuông tại $D$.
$\Rightarrow \angle ABD + \angle BAC = 90^\circ$
Tương tự, $CE \perp AB$ (do $CE$ là đường cao), nên tam giác $ACE$ vuông tại $E$.
$\Rightarrow \angle ACE + \angle BAC = 90^\circ$
Từ hai điều trên, suy ra $\angle ABD = \angle ACE$ (cùng phụ với $\angle BAC$).
Vì $M$ nằm trên tia đối của tia $BD$ nên $\angle ABM + \angle ABD = 180^\circ$ (hai góc kề bù).
Vì $N$ nằm trên tia đối của tia $CE$ nên $\angle ACN + \angle ACE = 180^\circ$ (hai góc kề bù).
Do $\angle ABD = \angle ACE$, ta kết luận: $\angle ABM = \angle ACN$.

b) Chứng minh $\Delta ABM = \Delta CNA$Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CNA$, ta có:

$AB = CN$ (theo giả thiết).
$\angle ABM = \angle ACN$ (chứng minh ở câu a).
$BM = AC$ (theo giả thiết).
Vậy $\Delta ABM = \Delta CNA$ (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

c) Chứng minh $\Delta MAN$ vuông cân

Chứng minh cân:
Từ $\Delta ABM = \Delta CNA$ (chứng minh ở câu b), ta có $AM = AN$ (hai cạnh tương ứng).
$\Rightarrow \Delta MAN$ cân tại $A$.
Chứng minh vuông:
Cũng từ $\Delta ABM = \Delta CNA$, ta có $\angle BAM = \angle ANC$ (hai góc tương ứng).
Xét trong $\Delta ANC$ vuông tại $E$ (kéo dài $CE$ cắt $AB$ tại $E$):
$\angle ANC + \angle NAE = 90^\circ$ (trong đó $\angle NAE$ chính là $\angle NAC$)
$\Rightarrow \angle BAM + \angle NAC = 90^\circ$
Mà $\angle MAN = \angle BAM + \angle BAC + \angle CAN$ (Điều này không đúng trực tiếp, hãy xét góc quay):
Thực tế, $\angle MAN = \angle MAC + \angle CAN$.
Vì $\Delta ABM = \Delta CNA$ nên $\angle MAB = \angle ACN$.
Ta có: $\angle MAN = \angle MAB + \angle BAC + \angle CAN$
Thay $\angle CAN = \angle ABM$ (từ tam giác bằng nhau):
$\angle MAN = \angle MAB + \angle BAC + \angle ABM$
Trong $\Delta ABM$, $\angle MAB + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ$. Cách này hơi phức tạp.
Cách đơn giản hơn:
Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ (trực tâm). Ta có $\angle BAC + \angle DHE = 180^\circ$.
Góc $\angle MAN$ được tạo bởi hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau đã được xoay một góc $90^{\circ }$.
Vì $AM = AN$ và $AM \perp AN$, suy ra $\Delta MAN$ vuông cân tại $A$

Câu trả lời: Giải bài 7a) Chứng minh $\angle ABM = \angle ACN$

Ta có $BD \perp AC$ (do $BD$ là đường cao), nên tam giác $ABD$ vuông tại $D$.
$\Rightarrow \angle ABD + \angle BAC = 90^\circ$
Tương tự, $CE \perp AB$ (do $CE$ là đường cao), nên tam giác $ACE$ vuông tại $E$.
$\Rightarrow \angle ACE + \angle BAC = 90^\circ$
Từ hai điều trên, suy ra $\angle ABD = \angle ACE$ (cùng phụ với $\angle BAC$).
Vì $M$ nằm trên tia đối của tia $BD$ nên $\angle ABM + \angle ABD = 180^\circ$ (hai góc kề bù).
Vì $N$ nằm trên tia đối của tia $CE$ nên $\angle ACN + \angle ACE = 180^\circ$ (hai góc kề bù).
Do $\angle ABD = \angle ACE$, ta kết luận: $\angle ABM = \angle ACN$.

b) Chứng minh $\Delta ABM = \Delta CNA$Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CNA$, ta có:

$AB = CN$ (theo giả thiết).
$\angle ABM = \angle ACN$ (chứng minh ở câu a).
$BM = AC$ (theo giả thiết).
Vậy $\Delta ABM = \Delta CNA$ (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

c) Chứng minh $\Delta MAN$ vuông cân

Chứng minh cân:
Từ $\Delta ABM = \Delta CNA$ (chứng minh ở câu b), ta có $AM = AN$ (hai cạnh tương ứng).
$\Rightarrow \Delta MAN$ cân tại $A$.
Chứng minh vuông:
Cũng từ $\Delta ABM = \Delta CNA$, ta có $\angle BAM = \angle ANC$ (hai góc tương ứng).
Xét trong $\Delta ANC$ vuông tại $E$ (kéo dài $CE$ cắt $AB$ tại $E$):
$\angle ANC + \angle NAE = 90^\circ$ (trong đó $\angle NAE$ chính là $\angle NAC$)
$\Rightarrow \angle BAM + \angle NAC = 90^\circ$
Mà $\angle MAN = \angle BAM + \angle BAC + \angle CAN$ (Điều này không đúng trực tiếp, hãy xét góc quay):
Thực tế, $\angle MAN = \angle MAC + \angle CAN$.
Vì $\Delta ABM = \Delta CNA$ nên $\angle MAB = \angle ACN$.
Ta có: $\angle MAN = \angle MAB + \angle BAC + \angle CAN$
Thay $\angle CAN = \angle ABM$ (từ tam giác bằng nhau):
$\angle MAN = \angle MAB + \angle BAC + \angle ABM$
Trong $\Delta ABM$, $\angle MAB + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ$. Cách này hơi phức tạp.
Cách đơn giản hơn:
Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ (trực tâm). Ta có $\angle BAC + \angle DHE = 180^\circ$.
Góc $\angle MAN$ được tạo bởi hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau đã được xoay một góc $90^{\circ }$.
Vì $AM = AN$ và $AM \perp AN$, suy ra $\Delta MAN$ vuông cân tại $A$

Nguyễn Mạnh Hùng · Answer

1. Chứng minh $\angle ABM = \angle ACN$Xét tam giác $ABC$ nhọn có hai đường cao $BD$ và $CE$ ($D \in AC, E \in AB$).

Trong tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $D$), ta có:
$\angle ABD=90^{\circ }-\angle A$
Trong tam giác vuông $ACE$ (vuông tại $E$), ta có:
$\angle ACE=90^{\circ }-\angle A$

Từ đó suy ra: $\angle ABD = \angle ACE$.Vì $M$ thuộc tia đối của tia $BD$ nên hai góc $\angle ABM$ và $\angle ABD$ là hai góc kề bù:
$\angle ABM=180^{\circ }-\angle ABD$Vì $N$ thuộc tia đối của tia $CE$ nên hai góc $\angle ACN$ và $\angle ACE$ là hai góc kề bù:
$\angle ACN=180^{\circ }-\angle ACE$Do $\angle ABD = \angle ACE$, ta có:
$\angle ABM=\angle ACN$

2. Chứng minh $\triangle ABM = \triangle NCA$Xét $\triangle ABM$ và $\triangle NCA$, ta có:

$BM = AC$ (theo giả thiết)
$\angle ABM = \angle ACN$ (chứng minh ở câu a)
$AB = CN$ (theo giả thiết)

Suy ra:
$\triangle ABM=\triangle NCA\text{\ (c-g-c)}$(Lưu ý: Đề bài ghi $\triangle ABM = \triangle CNA$ là chưa đúng thứ tự đỉnh tương ứng, thứ tự đúng phải là $\triangle ABM = \triangle NCA$).

3. Chứng minh $\triangle MAN$ vuông cânTừ kết quả $\triangle ABM = \triangle NCA$ ở câu b, ta có hai hệ quả sau:

$AM = AN$ (hai cạnh tương ứng), do đó $\triangle MAN$ cân tại $A$.
$\angle BAM = \angle ANC$ (hai góc tương ứng).

Bây giờ ta tính góc $\angle MAN$. Vì điểm $M$ và $N$ nằm trên các tia đối của đường cao nên tia $AB$ và $AC$ nằm giữa hai tia $AM$ và $AN$. Ta có:
$\angle MAN=\angle MAB+\angle BAC+\angle CAN$Xét tam giác $ACN$, tổng các góc trong tam giác bằng $180^{\circ }$:
$\angle ANC+\angle CAN+\angle ACN=180^{\circ }$Mà ở câu a ta đã biết $\angle ACN = 180^\circ - \angle ACE = 180^\circ - (90^\circ - \angle A) = 90^\circ + \angle BAC$. Thay vào đẳng thức trên:
$\angle ANC+\angle CAN+(90^{\circ }+\angle BAC)=180^{\circ }$
$\Rightarrow \angle ANC+\angle CAN=90^{\circ }-\angle BAC$Thay $\angle BAM = \angle ANC$ vào biểu thức góc $\angle MAN$:
$\angle MAN=\angle ANC+\angle BAC+\angle CAN=(\angle ANC+\angle CAN)+\angle BAC$
$\angle MAN=(90^{\circ }-\angle BAC)+\angle BAC=90^{\circ }$Tam giác $MAN$ có $AM = AN$ và $\angle MAN = 90^\circ$ nên $\triangle MAN$ vuông cân tại $A$.

Câu trả lời: 1. Chứng minh $\angle ABM = \angle ACN$Xét tam giác $ABC$ nhọn có hai đường cao $BD$ và $CE$ ($D \in AC, E \in AB$).

Trong tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $D$), ta có:
$\angle ABD=90^{\circ }-\angle A$
Trong tam giác vuông $ACE$ (vuông tại $E$), ta có:
$\angle ACE=90^{\circ }-\angle A$

Từ đó suy ra: $\angle ABD = \angle ACE$.Vì $M$ thuộc tia đối của tia $BD$ nên hai góc $\angle ABM$ và $\angle ABD$ là hai góc kề bù:
$\angle ABM=180^{\circ }-\angle ABD$Vì $N$ thuộc tia đối của tia $CE$ nên hai góc $\angle ACN$ và $\angle ACE$ là hai góc kề bù:
$\angle ACN=180^{\circ }-\angle ACE$Do $\angle ABD = \angle ACE$, ta có:
$\angle ABM=\angle ACN$

2. Chứng minh $\triangle ABM = \triangle NCA$Xét $\triangle ABM$ và $\triangle NCA$, ta có:

$BM = AC$ (theo giả thiết)
$\angle ABM = \angle ACN$ (chứng minh ở câu a)
$AB = CN$ (theo giả thiết)

Suy ra:
$\triangle ABM=\triangle NCA\text{\ (c-g-c)}$(Lưu ý: Đề bài ghi $\triangle ABM = \triangle CNA$ là chưa đúng thứ tự đỉnh tương ứng, thứ tự đúng phải là $\triangle ABM = \triangle NCA$).

3. Chứng minh $\triangle MAN$ vuông cânTừ kết quả $\triangle ABM = \triangle NCA$ ở câu b, ta có hai hệ quả sau:

$AM = AN$ (hai cạnh tương ứng), do đó $\triangle MAN$ cân tại $A$.
$\angle BAM = \angle ANC$ (hai góc tương ứng).

Bây giờ ta tính góc $\angle MAN$. Vì điểm $M$ và $N$ nằm trên các tia đối của đường cao nên tia $AB$ và $AC$ nằm giữa hai tia $AM$ và $AN$. Ta có:
$\angle MAN=\angle MAB+\angle BAC+\angle CAN$Xét tam giác $ACN$, tổng các góc trong tam giác bằng $180^{\circ }$:
$\angle ANC+\angle CAN+\angle ACN=180^{\circ }$Mà ở câu a ta đã biết $\angle ACN = 180^\circ - \angle ACE = 180^\circ - (90^\circ - \angle A) = 90^\circ + \angle BAC$. Thay vào đẳng thức trên:
$\angle ANC+\angle CAN+(90^{\circ }+\angle BAC)=180^{\circ }$
$\Rightarrow \angle ANC+\angle CAN=90^{\circ }-\angle BAC$Thay $\angle BAM = \angle ANC$ vào biểu thức góc $\angle MAN$:
$\angle MAN=\angle ANC+\angle BAC+\angle CAN=(\angle ANC+\angle CAN)+\angle BAC$
$\angle MAN=(90^{\circ }-\angle BAC)+\angle BAC=90^{\circ }$Tam giác $MAN$ có $AM = AN$ và $\angle MAN = 90^\circ$ nên $\triangle MAN$ vuông cân tại $A$.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP