Question

[Công Lê]

Cho a+b+c=0
CMR: 2023ab + 4047bc + 2024ca ≤ 0

Answer 1

[phong nguyen]

ta có: a+c=-b và a+b=-c

biến đổi biểu thức: 2023ab+2023bc+2024bc+2024ca

=2023b(a+c)+2024c(b+a)

=-2023\(b^2\) -2024\(c^2\)

vì \(b^2;c^2>0\Rightarrow-2023b^2;-2024c^2\le0\)

=> \(2023ab+4047bc+2024ca\le0\) (đpcm)

Answer 2

[Vũ Minh Hoàng]

P=2023ab+4047bc+2024ca

=2023ab+4047b(−a−b)+2024a(−a−b)

=−2024a^2−4048ab−4047b^2

=−(2024(a+b)^2+2023b^2)≤0.​

Vậy:

\(\boxed{2023 a b + 4047 b c + 2024 c a \leq 0.}\)

Answer 3

[Online Math]

*ੈ✩‧₊˚༺☆༻*ੈ✩‧₊˚

Để chứng minh $2023ab + 4047bc + 2024ca \le 0$ với điều kiện $a + b + c = 0$, ta có thể biến đổi biểu thức dựa vào giả thiết.

Từ điều kiện $a + b + c = 0$, ta suy ra:

$$c = -(a + b)$$

Thay $c = -(a + b)$ vào biểu thức cần chứng minh (gọi là $P$), ta có:

$$P = 2023ab + 4047bc + 2024ca$$$$P = 2023ab + 4047b(-(a + b)) + 2024a(-(a + b))$$$$P = 2023ab - 4047ab - 4047b^2 - 2024a^2 - 2024ab$$

Thu gọn các số hạng chứa $ab$:

$$P = (2023 - 4047 - 2024)ab - 4047b^2 - 2024a^2$$$$P = -4048ab - 4047b^2 - 2024a^2$$

Biểu thức này chưa thành hằng đẳng thức đẹp, ta hãy thử kiểm tra lại hệ số hoặc biến đổi theo hướng khác. Xét biểu thức:

$$P = 2023ab + 4047bc + 2024ca$$

Nhận thấy $4047 = 2023 + 2024$, ta có thể tách như sau:

$$P = 2023ab + (2023 + 2024)bc + 2024ca$$$$P = 2023ab + 2023bc + 2024bc + 2024ca$$$$P = 2023b(a + c) + 2024c(b + a)$$

Từ giả thiết $a + b + c = 0$, ta suy ra:

• $a + c = -b$
• $b + a = -c$

Thay vào biểu thức $P$:

$$P = 2023b(-b) + 2024c(-c)$$$$P = -2023b^2 - 2024c^2$$

Vì $2023b^2 \ge 0$ và $2024c^2 \ge 0$ với mọi số thực $b, c$, nên:

$$-2023b^2 \le 0$$$$-2024c^2 \le 0$$

Do đó:

$$P = -2023b^2 - 2024c^2 \le 0$$

Vậy $2023ab + 4047bc + 2024ca \le 0$ (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi $b = 0$ và $c = 0$, dẫn đến $a = 0$.

Answer 4

[KUDOSHINICHI Vn]

Từ giả thiết: \(a + b + c = 0 \Rightarrow a = -b - c\)Thay \(a = -b - c\) vào vế trái (VT) của bất đẳng thức, ta có:
\(\text{VT}=2023(-b-c)b+4047bc+2024c(-b-c)\)
\(\text{VT}=-2023b^{2}-2023bc+4047bc-2024bc-2024c^{2}\)
\(\text{VT}=-2023b^{2}+(-2023+4047-2024)bc-2024c^{2}\)
\(\text{VT}=-2023b^{2}+0\cdot bc-2024c^{2}\)
\(\text{VT}=-2023b^{2}-2024c^{2}\)
\(\text{VT}=-(2023b^{2}+2024c^{2})\)Vì \(b^2 \geq 0\) và \(c^2 \geq 0\) với mọi \(b, c\)
\(\Rightarrow 2023b^2 + 2024c^2 \geq 0\) với mọi \(b, c\)
\(\Rightarrow -(2023b^2 + 2024c^2) \leq 0\) với mọi \(b, c\)Hay \(2023ab + 4047bc + 2024ca \leq 0\) (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(b=0\text{\ và\ }c=0\Rightarrow a=0\)