Question

[Vũ Hà Trúc Quỳnh]

cứu

Answer 1

[Dương Thái Bách]

chat GPT là được mà

Answer 2

[Hoàng Yến Nhi]

\(M=\frac12+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(2M=1+\frac32+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^{n-1}}\)

\(2M-M=1+\left(\frac32-\frac12\right)+\left(\frac{5}{2^2}-\frac{3}{2^2}\right)+\cdots+\left(\frac{2n-1}{2^{n-1}}-\frac{2n-3}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+\frac22+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+1+\frac12+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+\frac{1.\left\lbrack1-\left(\frac12\right)^{n-1}\right\rbrack}{1-\frac12}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+2.\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=1+2-\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=3-\frac{4}{2^{n}}-\frac{2n-1}{2^{n}}\)

\(=3-\frac{2n+3}{2^{n}}.\)

Answer 3

[Doãn Hải Minh]

Biểu thức cần tính tổng hoặc rút gọn là:

\(M=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+\dots\ldots+\frac{2n-1}{2^n}\)

Để rút gọn \(M\) theo \(n\) , ta thực hiện nhân cả hai tế của biểu thức với \(2\) :

\(2M=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+\dots\ldots+\frac{2n-1}{2^{n-1}}\)

Lấy \(2M-M\) theo từng hạng tử tương ứng:

\(2M-M=1+\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{5}{2^2}-\frac{3}{2^2}\right)+\left(\frac{7}{2^3}-\frac{5}{2^3}\right)+\ldots+\left(\frac{2n-1}{2^{n-1}}-\frac{2n-3}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n-1}{2^n}\)

\(M=1+\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\ldots+\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}\)

\(M=1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-2}}\right)-\frac{2n-1}{2^n}\)

Tổng trong ngoặc là tổng của cấp số nhân gồm \(n-1\) số hạng, với số hạng đầu \(a_1 = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) :

\(S_{n-1} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) = 2 - \frac{1}{2^{n-2}}\)

Thay \(S_{n-1}\) vào biểu thức \(M\) :

\(M = 1 + 2 - \frac{1}{2^{n-2}} - \frac{2n-1}{2^n}\)

\(M = 3 - \frac{4}{2^n} - \frac{2n-1}{2^n}\)

\(M = 3 - \frac{2n+3}{2^n}\)

Dạng rút gọn tổng tổng quát theo \(n\) :

\(M = 3 - \frac{2n+3}{2^n}\)

Khi \(n \to \infty\)

\(\lim_{n \to \infty} M = 3\)