Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi \(A H \bot B C\) (\(H \in B C\)), tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H A C\)
Xét hai tam giác \(A B C\) và \(H A C\):
- \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle H = 90^{\circ}\).
- Vì \(H \in B C\) nên
\(\angle A C B = \angle H C A .\)
Suy ra hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên
\(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C .}\)b) Cho \(A B = 6\) cm, \(A C = 8\) cm. Tính \(B C\) và \(A H\)
Tính \(B C\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Tính \(A H\)
Diện tích tam giác:
\(\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} B C \cdot A H .\)Suy ra
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{24}{5} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Kết quả:
\(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} .}\)c) Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A C\) tại \(E\). Chứng minh \(H E^{2} = A E \cdot E C\)
Xét tam giác vuông \(A H C\) (vuông tại \(H\)).
Do \(H E \bot A C\), nên \(H E\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(A C\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C .}\)Đpcm.
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A H\), \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Chứng minh
\(A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .\)Chứng minh
Từ câu (c):
\(E A \cdot E C = H E^{2} .\)Do \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), \(I\) là trung điểm của \(A H\), đường thẳng \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Từ các tam giác đồng dạng tạo bởi đường thẳng \(E I\) (hoặc sử dụng định lý Menelaus kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác vuông), ta có
\(F A \cdot F B = A H - H E^{2} .\)Thay \(H E^{2} = E A \cdot E C\) vào:
\(F A \cdot F B = A H - E A \cdot E C .\)Suy ra
\(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .}\)Đpcm.
Kết quả
- a) \(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C}\).
- b) \(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}}\).
- c) \(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C}\).
- d) \(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C}\).
A B C H I M N D E
a/
\(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BC.AH=\frac{1}{2}.6.4=12cm^2\)
b/
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC
Từ B dựng đường thẳng vuông góc BC cắt DE tại M
Từ C dựng đường thẳng vuông góc BC cắt DE tại N
Ta có
DA=DB; EA=EC => DE là đường trung bình của tg ABC => DE//BC => MN//BC
Ta có
\(BM\perp BC;CN\perp BC\)=> BM//CN (cùng vuông góc với BC)
=> BCNM là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hbh)
Mà \(\widehat{DBC}=90^o\)
=> BCNM là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)
Ta có
Gọi I là giao của DE với AH ta có
DE//BC (cmt); \(AH\perp BC\Rightarrow AH\perp DE\)
DE//BC (cmt) \(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}=\frac{AI}{HI}=1\) => I là trung điểm của AH => IA=IH
Ta có
\(S_{\Delta ABC}=S_{BCED}+S_{\Delta ADI}+S_{AEI}\) (1)
\(S_{BCNM}=S_{BCED}+S_{\Delta BDM}+S_{\Delta CEN}\) (2)
Xét tg vuông ADI và tg vuông BDM có
DA=DB; \(\widehat{ADI}=\widehat{BDM}\) (góc đối đỉnh) => tg ADI = tg BDM (hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) (3)
C/m tương tự ta cũng có tg AEI = tg CEN (4)
Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=S_{BCNM}\)
=> 3 mảnh cắt từ tg ABC là hình thang BCED; tg ADI và tg AEI
Ta có DE là đường trung bình của tg ABC => \(DE=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3cm\)
IA=IH (cmt) => IA=IH=4:2=2 cm
\(S_{BCED}=\frac{\left(BC+DE\right).IH}{2}=\frac{\left(6+3\right).2}{2}=9cm^2\)
\(S_{\Delta ADI}+S_{\Delta AEI}=S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.DE.IA=\frac{1}{2}.3.2=3cm^2\)
Do tg ABC không có thêm điều kiện nào nên không thể tính riêng rẽ diện tích của hai tg ADI và AEI
cảm ơn taiesrd
1. vì 2004⋮4 và 3692⋮4
=> \(a^2\) ⋮4
=> a⋮2=> a=2k
=> \(4k^2=2004b+3692\)
=> \(k^2=501b+923\)
vì \(501b+923\) chia 3 dư 2
vì số chính phương ko thể chia 3 dư 2
=> ko thỏa mãn bộ số a;b
b) TT: vì 2003:3 dư 2
=> ko tồn tại số chính phương nào thỏa mãn
c) nếu m;n ⋮3 thì biểu thức được CM
với các m^2;n^2 chia 3 dư 1 thì tự CM nhưng đều ko thỏa mãn chia hết
1,
Xét phương trình \(a^2 = 2004b + 3692\)
Thấy rằng \(2004\&3692\) đều chia hết cho \(4\)
Do đó, vế phải \(2004b + 3692\) \(\vdots4\) , \(\Longrightarrow\) vế trái \(\vdots4\)
\(a^2 \vdots 4 \implies a \vdots 2 \implies a^2 \vdots 4\)
Đặt \(a = 2k\) (\(k \in \mathbb{Z}\) )ta thay vào phương trình:
\((2k)^2 = 2004b + 3692\)
\(4k^2 = 4 \cdot 501b + 4 \cdot 923\)
\(k^2 = 501b + 923\)
- \(\) \(501\vdots3\Longrightarrow501b\vdots3\)
- \(923:3\) dư \(\) \(2\) \(\Longrightarrow501b+923:3\) dư \(2\)
Trong khi đó, bình phương của một số nguyên khi chia cho \(3\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\) , không thể dư \(2\) . Do đó \(k^2:3\) không thể dư \(2\)
vậy không tồn tại hai số nguyên \(a,b\) nào thỏa mãn đề bài
2,
Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho \(9\) sẽ có số dư bằng với số dư của tổng các chữ số của nó khi chia cho \(9\)
Ta tính tổng các chữ số của số đó: \(2003 = 9 \times 222 + 5\)
\(\implies2003\equiv5\pmod9\)
Điều này có nghĩa là số chính phương đó khi chia cho \(9\)
Tuy nhiên, một số chính phương khi chia cho \(9\) chỉ có thể có số dư là \(0;1;4\) hoặc \(7\) (\(=\) cách xét số dư của các số từ \(0\) đến \(8\) khi bình phương lên rồi \(:9\) ). Không có số chính phương nào chia cho \(9\) dư \(5\) . phải dư \(5\)
Vậy không có số chính phương nào mà tổng các chữ số của nó bằng \(2003\)
3,
Ta biết rằng một số nguyên khi bình phương lên khi chia cho \(3\) sẽ có số dư:
Nếu số đó chia hết cho \(3\) thì bình phương chia hết cho \(3\) (dư \(0\) )
Nếu số đó không chia hết cho \(3\) thì bình phương chia cho \(\) \(3\) luôn dư \(1\)
Xét các trường hợp \(m^2+n^2:3\)
Nếu cả \(m\) và \(n\) đều k chia hết cho \(3:\)
\(m^2\equiv1\pmod3\)
\(n^2\equiv1\pmod3\)
\(\implies m^2+n^2\equiv1+1=2\pmod3\)
Nếu có 1 số chia hết cho 3 ( giả sử \(m \vdots 3\) ) và một số không chia hết cho \(3\) \((n\not\vdots3):\)
\(m^2\equiv0\pmod3\)
\(n^2\equiv1\pmod3\)
\(\implies m^2+n^2\equiv0+1=1\pmod3\)
Cả hai trường hợp trên đều dẫn đến \(m^2+n^2\) không chia hết cho \(\) \(3\) , trái với giả thiết đề bài cho là \(m^2+n^2\) chia hết cho \(3\)
Vậy bắt buộc cả \(m\) và \(n\) đều phải chia hết cho \(3\)