thay a-b=13 vào ta có:

<=> \(A=\frac{3a-b}{2a+a-b}-\frac{3b-a}{2b-\left(a-b\right)}\)

\(A=\frac{3a-b}{3a-b}-\frac{3b-a}{3b-a}\)

\(A=1-1\)

\(A=0\)

c) sửa đề: CM: BI⊥AJ tại K

ta có AM=AN

=> △AMN vuông cân tại A

=> góc AMN= 45 độ

mà góc AHI= góc AMN= 45 độ

=> IH là đường phân giác của góc AHB

xét tam giác AHB

IH là đường phân giác

AI là đường phân giác

=> BI là đường phân giác cuối cùng

=> góc ABI=\(\frac12\) x góc B

ta có góc CAH= góc B

mà AE là phân giác

=> góc CAE= \(\frac12\) x góc CAH= \(\frac12\) x góc B

=> góc BAE= 90 độ- \(\frac12\) x góc B

xét tam giác BAK có:

góc BAK+ góc ABK= \(\frac12\) x góc B+ 90 độ- \(\frac12\) x góc B=90 độ

=> góc AKB= 90 độ

=> △ABK ⊥ tại K

d) kẻ AJ cắt BC tại E; kẻ AI cắt BC tại F; kẻ CJ cắt AI tại G

ta có góc BAH= góc C

=> góc BAE= góc BAH+ góc HAE= góc C+ \(\frac12\) x góc B

ta có góc BEA= góc EAC+ góc C= góc C+ \(\frac12\) x góc B( góc ngoài tam giác)

=> góc BAE= góc BEA

=> △ABE cân tại B

BI là đường phân giác

=> BI đồng thời là đường trung tuyến

=> K là trung điểm AE

CMTT: => △CAF cân tại C và CG⊥AF

=> G là trung điểm AF

=> KG là đường trung bình của △ AFE

=> \(KG=\frac12EF\)

mà EF= BE+CF-BC=AB+AC-BC

=> \(KG=\frac{AB+AC-BC}{2}\)

ta có \(\left(AB+AC\right)^2\le2\left(AB^2+AC^2\right)\) ( bđt phụ hoặc buhiacopxki cx dc)

=> \(\left(AB+AC\right)^2\le2BC^2\)

căn bậc cả hai vế, ta có:

\(AB+AC\le\sqrt2BC\)

vì \(\sqrt2<\frac32\)

=> \(AB+AC<\frac32BC\)

=> \(KG<\frac{\frac32BC-BC}{2}=\frac{\frac12BC}{2}=\frac14BC\) (đpcm)

bài 3:

a) xét tam giác MPB vuông tại M

R là trung điểm PB

=> \(MR=RB=RP=\frac12PB\)

=> △MRB là tam giác cân

=> góc RMB = góc RBM hay góc RMB= góc ABC

mà góc ABC= góc ACB

=> góc RMB= góc ACB

=> RM//AC

CMTT: => △MSC cân tại S

=> góc SMC= góc SCM hay góc SMC= góc ACB

=> mà góc ACB= góc ABC

=> góc SMC= góc ABC

=> SM//AB

b) xét tam giác ABC cân tại A

=> AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác

=> góc BAH= góc CAH

ta có RM//AC hay RI//AC

=> góc RIA= góc IAC hay góc RIA= góc HAC

=> góc BAH= góc RIA hay góc RAI= góc RIA

=> △ABC cân tại R

xét tứ giác RASM có:

RM//AS

RA//MS

=> tứ giác RASM là hình bình hành

=> RM=AS

mà RM=RB

=> RB=AS

xét tam giác IRB và tam giác RAS có:

RA=RI( vì tam giác ARI cân tại R)

AS=RB

góc BRI= góc RAS( vì RI//AC)

=> △IRB=△RAS(c.g.c)

=> BI=RS

c) chứng minh dc: △BMP~△BHA

=> \(\frac{MP}{AH}=\frac{MB}{HB}\)

=> \(MP=\frac{MB\cdot AH}{HB}\)

CMTT: => △MCQ~△HCA

=> \(\frac{MQ}{AH}=\frac{MC}{HC}\)

=> \(MQ=\frac{MC\cdot AH}{HC}\)

ta có \(HB=HC=\frac{BC}{2}\)

=> \(MP+MQ=\frac{MB\cdot AH}{\frac{BC}{2}}+\frac{MC\cdot AH}{\frac{BC}{2}}=\frac{AH\left(MB+MC\right)}{\frac{BC}{2}}=\frac{AH\cdot BC}{\frac{BC}{2}}=2AH\)

vì tam giác ABC là cố định nên AH cũng cố định

vậy MP+MQ không đổi

lấy K là giao của các đường trung trực trong tam giác

=> K∈AH

ta có: KA=KB=KC

=> △KAB cân tại K

=> góc KBA= góc KAB

vì K∈AH=> góc KAB= góc KAC

=> góc KBA= góc KAC hay góc KBR= góc KAS

xét tam giác KBR và tam giác KAS có:

KB=KA

góc KBR= góc KAS

RB=AS

=> △KBR=△KAS

=> KR=KS

=> K thuộc đường trung trực RS

vậy khi M di chuyển đường trung trực của RS luôn đi qua K

bài 4:

a) có CM của anh ở trên

b) vì △AMI=△AIH

=> góc AHI= góc AMI

CMTT: => góc AHJ= góc ANJ

mà góc AMI+ góc ANJ= 90 độ( xét tam giác AMN)

=> góc AHI+ góc AHI= 90 độ

=> góc IHJ= 90 độ

=> △IHJ vuông tại H

=> \(IJ^2=IH^2+HJ^2\)

mà IH=IM ; HJ=JN

=> \(IJ^2=IM^2+JN^2\)

tạm thời mik phải đi ngủ; nếu bạn thấy đúng bạn chỉ cần tick cho mik là mik hiểu rồi

vì \(3c^2\vdots3\) => \(a^2+b^2\vdots3\)

TH1: a và b ko chia hết cho 3

ta biết rằng một số không chia hết cho 3 thì bình phương lên luôn chia 3 dư 1

=> \(a^2:3\) dư 1 và \(b^2:3\) dư 1

=> \(a^2+b^2:3\) dư 2

TH2: a và b chia hết cho 3

=> \(a^2\vdots3\) và \(b^2\vdots3\)

=> \(a^2+b^2\vdots3\) ( thỏa mãn)

vì a và b chia hết cho 3

ta đặt a= 3k; b=3m ( k∈\(N^{\cdot}\) )

=> \(\left(3k\right)^2+\left(3m\right)^2=3c^2\)

\(9k^2+9m^2=3c^2\)

\(9\left(k^2+m^2\right)=3c^2\)

chia cả hai vế cho 3 ta có:

\(3\left(k^2+m^2\right)=c^2\)

vậy \(c^2\vdots3\Rightarrow c\vdots3\)

ta có a⋮3; 3b⋮3; 5c⋮3

=> a+3b+5c⋮3

mà vì a+3b+5c>3( a;b;c là các số tự nhiên khác 0)

=> a+3b+5c là hợp số(đpcm)

b) ta có : VT: \(\left(ax+cy\right)\left(x^2y-bxy^2-1\right)=ax^3y-abx^2y^2-ax+cx^2y^2-bcxy^3-cy\)

= \(ax^3y+\left(c-ab\right)x^2y^2-bcxy^3-ax-cy\)

=> a=4 ;c=5; -bc=10

=> -b(-5)=10

5b=10

b=2

a) xét tứ giác AHCM có:

I là trung điểm AC

I là trung điểm HM

=> tứ giác AHCM là hình bình hành

mà AHCM có góc AHC= 90 độ

=> tứ giác AHCM là hình chữ nhật

b) xét tam giác AHC có:

I là trung điểm AC

K là trung điểm HC

=> IK là đường trung bình của tam giác AHC

=> IK//AH

c) từ câu a)=> AM//HC và AM=HC

mà tam giác ABC là tam giác cân

=> AH vừa là đường cao đồng thời trung tuyến

=> H là trung điểm của BC

=> HB=HC

=> AM//BH và AM=BH

=> tứ giác AMHB là hình bình hành

mà E là trung điểm của AH

ta có BM và AH giao nhau tại trung điểm mỗi đường

=> B,E,M thẳng hàng(đpcm)

a) ta có AD=AE

=> △ADE cân tại A

vì AD=AE và AB=AC

=> \(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{BC}=1\)

=> \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{BC}\)

=> DE//BC( thales đảo)

b) ta có DE//BC

=> tứ giác DECB là hình thang

mà góc ABC= góc ACB hay góc DBC= góc ECB

=> tứ giác DECB là hình thang cân

c) => góc B= góc C= (180 độ- 50 độ):2=65 độ

xét hình thang cân DECB

=> góc EDB+ góc DBC= 180 độ

mà góc DBC= 65 độ

=> góc EDB= 180 độ- 65 độ=115 độ

mà góc DEC= góc EDB= 115 độ

sửa đề: AD=AE

xét tam giác KBE có:

BA⊥KE

KD⊥BE

=> DE⊥BK

gọi H là giao của KD và BE

=> góc ABE+ góc AEB= 90 độ

góc HKE+ góc KEH= 90 độ

mà góc KEH chính là góc AEB

=> góc EKH= góc ABE

xét tam giác ADK và tam giác AEB có:

AD=AE

góc AKD= góc ABE

góc KAD= góc BAE= 90 độ

=> △ADK=△AEB

=> AK=AB

=> △ABK vuông cân tại A

=> góc ABK= 45 độ

△ABC là tam giác giác vuông cân

=> góc ABC= 45 độ

mà góc KBC= góc ABK+ góc ABC

góc KBC= 45 độ+ 45 độ= 90 độ

=> tam giác KBC là tam giác vuông(đpcm)

gọi số lần múc nước gáo thứ nhất là m; gọi số lần múc nước gáo thứ 2 là n(m;n là các số nguyên)

tổng số nước sau khi các lần múc là:

\(m\sqrt2+n\left(2-\sqrt2\right)\) (m;n∈Z)

để chuyển đúng 1 lít nước từ thùng này sang thùng kia ta có:

\(m\sqrt2+n\left(2-\sqrt2\right)=1\)

\(m\sqrt2-n\sqrt2+2n=1\)

\(\left(m-n\right)\sqrt2=1-2n\)

TH1: m-n≠0

=> \(\sqrt2=\frac{1-2n}{m-n}\)

vì \(\sqrt2\) là số vô tỉ còn \(\frac{1-2n}{m-n}\) là số hữu tỉ nên vô lí

TH2: m-n=0

\(0=1-2n\)

=> \(1=2n\)

=> \(n=\frac12\)

vô lí vì n phải là số nguyên dương

gọi K là trung điểm DC

CM được : MC⊥DN tại I

=> AMCK là hình bình hành

=> AK//MC

gọi giao của AK và DM là H

=> AK⊥DM tại H

xét tam giác DIC có:

K là trung điểm DC

HK//IC

=> H là trung điểm DI

xét tam giác ADI có:

AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

=> tam giác ADI cân tại A(đpcm)