câu 11:

gọi A là số tự nhiên

=> A= 4k+2( với k là một số tự nhiên)

=> A=2(2k+1)

=> A chia hết cho 2

vậy số dư =0

câu 12:

hiệu tổng mới và tổng cũ là:

417-102=315

=> hiệu này= 9 lần số bé

=> số bé là: 315:9=35

=> số lớn là: 102-35=67

câu 13:

=> số thứ nhất là 7 phần và số thứ 2 là 12 phần

ta có: \(\frac34=\frac{9}{12}\)

số phần tăng lên là: 9-7=2( phần)

giá trị 1 phần là: 10:2=5

tổng số phần của hai số là: 7+12=19( phần)

=> tổng 2 số là: 19 x 5=95

câu 14

với p=2=> p+2=4 (ko phải số nguyên tố)

với p=3=> p+2 và p+4 đều là số nguyên tố(TM)

với p>3

TH1: p=3k+1

=> p+2=3k+3=3(k+1)( là hợp số)

TH2: p=3k+2

=> p+4=3k+6=3(k+2)( là hợp số)

vậy p=3 thỏa mãn đề bài

câu 15:

a) số học sinh ít nhất một môn là:

100-5=95( học sinh)

tổng số học sinh thích môn toán và văn là:

75+60=135( học sinh)

số học sinh thích cả hai môn là:

135-95=40( học sinh)

b) vì 60<75 nên có nhiều nhất 60 học sinh thích cả môn toán và văn

c) để ít nhất => số người thích ít nhất một môn đạt tối đa

=> ít nhất có học sinh ko thích cả 2 môn là:

100-100=0( học sinh)

Kl:.....

a) => BC = 7.5+10=17.5 (cm)

=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{7.5}{10}=\frac34\)

áp dụng Pythagore ta dc: AB=10,5cm

=> AC= \(\frac43\cdot10,5=14\)

\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=8,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

=> tan(B)=\(\frac{AC}{AB}=\frac{14}{10,5}=\frac43\)

=> góc B xấp xỉ 53,13 độ

b) tứ giác AFDE có:

AD là phân giác

góc A= góc E= góc F= 90 độ

=> tứ giác AFDE là hình vuông

ta có thales: \(\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow DE=\frac{BD\cdot AC}{BC}=6\)

=> \(S_{AFDE}=6^2=36\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c) ta có: \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}\)

\(\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot AB\cdot DE+\frac12\cdot DF\cdot AC\)

vì DE=DF

=> \(AB\cdot AC=DE\left(AB+AC\right)\)

=> \(\frac{1}{DE}=\frac{AB+AC}{AB\cdot AC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

xét △ADE vuông tại E

=> \(AD=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{2ED^2}=\sqrt2ED\)

\(\Rightarrow ED=\frac{AD}{\sqrt2}\)

=> \(\frac{1}{DE}=\frac{1}{\frac{AD}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt2}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\left(đpcm\right)\)

Bài 6 dễ CM và cx ko phải bt về nhà, sau phóng to ảnh ra hộ cái

Bài 7:

ta có: xét △HBM và △KCN

BM=CN

góc HMB= góc KNC= 90 độ

góc HBM= góc KCN( vì góc ABC= góc ACB)

=> △HBM=△KCN(cgv-gn)

=>BH=CK

ta có AH=AB-BH và AK=AC-CK

=> AH=AK

=> △AHK cân tại A

=> góc AHK=(180 độ- góc HAK)/2

góc ABC= (180 độ- góc BAC)/2

mà góc HAK chính là góc BAC

=> góc AHK= góc ABC=> HK//BC

=> tứ giác HKCB là hình thang kết hợp với góc HBC= góc KCB

=> tứ giác HKCB là hình thang cân (đpcm)

bài 8:

ta có △ABC cân tại A

=> góc ABC= (180 độ- góc BAC)/2

ta có AE=AF=> △AEF cân tại A

=> góc AEF= (180 độ- góc FAE)/2

mà góc FAE= góc BAC

=> góc AEF= góc ABC

=> EF//BC(1)

mà EB=AE+AB

FC=AF+AC

=> EB=FC(2)

từ (1)(2)=> tứ giác EFBC là hình thang cân (đpcm)

bài 9:

tớ vẽ cạnh đáy theo trình tự D,M,N,C ấy nhá

xét △ADM và BCN

AD=BC

góc ADM= góc BCN

DM=NC

=> △ADM=△BCN(c.g.c)

=> AM=BN

kết hợp với AB//MN

=> tứ giác ABNM là hình thang cân(đpcm)

a) gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là a;b

=> \(S_{ABM}=\frac{AB\cdot BM}{2}=a\cdot\left(b:2\right):2=\left(a\cdot b\right):4\)

\(S_{ADN}=b\cdot\left(a:2\right):2=\left(a\cdot b\right):4\)

=> \(S_{ABM}=S_{ADN}\)

b) \(\Rightarrow S_{CMN}=\left(a:2\right)\cdot\left(b:2\right):2=\left(a\cdot b\right):8\)

=> \(\frac{S_{ABM}}{S_{CMN}}=\frac{\left(a\cdot b\right):4}{\left(a\cdot b\right):8}=2\)

c) => \(S_{AMN}=S_{ABCD}-S_{ABM}-S_{CMN}-S_{ADN}\)

ta có: \(S_{ABM}=324:4=81\operatorname{cm}^2=S_{ADN}\)

\(S_{CMN}=324:8=40,5\operatorname{cm}^2\)

=> \(S_{AMN}=324-2\cdot81-40,5=121,5\operatorname{cm}^2\)

ta phân tích lại B

B= \(\frac{2019}{2021+2023+2025}+\frac{2021}{2021+2023+2025}+\frac{2023}{2021+2023+2025}\)

ta có: \(\frac{2019}{2021+2023+2025}<\frac{2019}{2021}\)

\(\frac{2021}{2021+2023+2025}<\frac{2021}{2023}\)

\(\frac{2023}{2021+2023+2025}<\frac{2023}{2025}\)

=> A>B

gọi O là giao của hai đg/chéo trong hbh ABCD

xét tam giác ADC

=> N là trọng tâm

=> \(DN=\frac23DO=\frac23\cdot\frac12BD=\frac13BD\)

CMTT:=> \(BM=\frac23BO=\frac13BD\)

=> \(MN=BD-\frac13BD-\frac13BD=\frac13BD\)

kẻ DH⊥AB tại H

=> góc ADH= 30 độ và \(AH=\frac12AD=4\)

=> \(DH^2=AD^2-AH^2=8^2-4^2=48\)

HB= AB-AH=15-4=11

=> \(BD^2=HD^2+HB^2\) ( xét △HBD vuông tại H)

=> \(BD=\sqrt{HD^2+HB^2}=\sqrt{48+121}=13\)

=> MN=\(\frac13BD=\frac{13}{3}\)

a) và b) tương tự như anh ở trên

c) p/giác trong và ngoài

=> EB⊥BK

=> tứ giác AEBK là hcn

gọi O là giao của hai đường chéo trong hcn AEBK

=> góc OBK= góc OKB

mà góc OBK= góc KBC

=> góc KBC= góc OKB

=> OK//BC hay EK//BC

d) ta có: \(S_{AKBE}=AK\cdot BK\)

góc ABK= góc ABC:2=30 độ

=> AK=sin ABK* AB=9* sin 30= 4,5 cm

BK= cos ABK* AB= 9* cos 30=\(4,5\sqrt3\) cm

=> \(S_{AKBE}=20,25\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a) ta có góc MAC= góc MAH+ góc HAC

góc AMC= góc MAB+ góc MBA

mà góc MAB= góc MAH; góc HAC= góc MBA

=> góc MAC= góc AMC

=> △ACM cân tại C

b) △ACM cân tại C có CK là trung tuyến

=> CK cx là đường cao

=> △KCM vuông tại K

=> \(MK^2=MI\cdot MC\)

mà MA=2MK

=> \(MA^2=4MK^2=4\cdot MI\cdot MC=2MH\cdot MC\)

c) ta có: \(S_{AMC}=\frac12AH\cdot MC=\frac12\cdot KC\cdot AM\)

=> \(AH\cdot MC=KC\cdot AM\Rightarrow AH=\frac{KC\cdot AM}{MC}\)

=> \(\frac{1}{AH^2}=\frac{MC^2}{AM^2\cdot CK^2}=\frac{\frac{AM^2}{4}+KC^2}{AM^2\cdot CK^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{4CK^2}\) (đpcm)

a)=> AB=5cm

ta có: \(AE=\frac{AH^2}{AB}=\frac{4^2}{5}=3,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

=> tan B= 4/3

=> góc B xấp xỉ 53 độ

b) <=> \(AC^2-HC^2=AB^2-BH^2\)

\(AH^2=AH^2\) (luôn đúng nên biểu thức dc CM)

c) ta có hệ thức lượng: \(AH^2=HB\cdot HC\)

=> △ABC vuông tại A

=> tứ giác AEHF là hcn

ta có: I là trung điểm BC

=> △IAC cân tại I

=>góc IAC= góc C

ta có góc MEA= góc BAH= góc C

=> góc MEA+ góc MAE= góc C+ góc IAB= góc IAB+ góc IAC

=> góc MEA+ góc MAE= 90 độ= góc EMA

=> △AME vuông tại M

d) ta có: \(S_{AEF}=\frac12\cdot AE\cdot AF\cdot\sin A\)

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE\cdot AF}{AB\cdot AC}=\frac{\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AB^2\cdot AC^2}=\left(\frac{AH}{AB}\right)^2\cdot\left(\frac{AH^2}{AC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\sin^2B\cdot\sin^2C\Leftrightarrow S_{ABC}=\frac{S_{AEF}}{\sin^2C\cdot\sin^2B}\) (đpcm)

ta có:

\(2x^3+2x^2y+x^2+2xy=x+10\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2y+2xy\right)+\left(2x^3+x^2-x\right)=10\)

\(\Leftrightarrow2xy\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)\left(2x-1\right)=10\)

\(\left(x+1\right)\left\lbrack2xy+x\left(2x-1\right)\right\rbrack=10\)

\(x\left(x+1\right)\left(2x+2y-1\right)=10\)

hai số liên tiếp x(x+1) phải chẵn và dương trong các ước của 10

mà chỉ có 2 thỏa mãn

=>x(x+1)=2

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

=>x=1 hoặc x=-2

TH1: x=1

=>2(2.1+2y-1)=10

2y+1=5

=>y=2(TM)

TH2: x=-2

=>2[2.(-2)+2y-1]=10

<=>y=5(TM)

vậy (x;y)∈(1;2),(-2;5)