Question

[Vo Nhan Nghia Vo Nhan Nghia]

1. Cho hinh binh hanh ABCD co goc BAD=60do,goi E la trung diem BC,F la trung diem CD.Gia su BD lan luot cat AE,AF tai M,N.Biet rang AB=15,AD=8,tinh MN

Answer 1

[Trịnh Trần Hải Yến]

Xét tam giác $ABD$:

• Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
• Trong tam giác $ABC$, $AE$ là đường trung tuyến và $BO$ là đường trung tuyến. Hai đường này cắt nhau tại $M$, do đó $M$ là trọng tâm của $\triangle ABC$.
• • Suy ra $BM = \frac{2}{3} BO = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} BD\right) = \frac{1}{3} BD$.

Tương tự trong tam giác $ADC$:

• $AF$ và $DO$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $N$, do đó $N$ là trọng tâm của $\triangle ADC$.
• • Suy ra $DN = \frac{2}{3} DO = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} BD\right) = \frac{1}{3} BD$.

Từ đó, độ dài đoạn $MN$ là:

$$MN = BD - BM - DN = BD - \frac{1}{3}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD$$

Áp dụng định lý định lý cosin trong tam giác $ABD$:

• $AB = 15$
• $AD = 8$
• $\widehat{BAD} = 60^\circ$

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\widehat{BAD})$$$$BD^2 = 15^2 + 8^2 - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$$$$BD^2 = 225 + 64 - 240 \cdot \frac{1}{2}$$$$BD^2 = 289 - 120 = 169$$$$BD = \sqrt{169} = 13$$$$MN = \frac{1}{3} BD = \frac{13}{3}$$

Vậy độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng $\frac{13}{3}$ (hoặc khoảng $4,33$).

Answer 2

[phong nguyen]

gọi O là giao của hai đg/chéo trong hbh ABCD

xét tam giác ADC

=> N là trọng tâm

=> \(DN=\frac23DO=\frac23\cdot\frac12BD=\frac13BD\)

CMTT:=> \(BM=\frac23BO=\frac13BD\)

=> \(MN=BD-\frac13BD-\frac13BD=\frac13BD\)

kẻ DH⊥AB tại H

=> góc ADH= 30 độ và \(AH=\frac12AD=4\)

=> \(DH^2=AD^2-AH^2=8^2-4^2=48\)

HB= AB-AH=15-4=11

=> \(BD^2=HD^2+HB^2\) ( xét △HBD vuông tại H)

=> \(BD=\sqrt{HD^2+HB^2}=\sqrt{48+121}=13\)

=> MN=\(\frac13BD=\frac{13}{3}\)