Question

[Dũng Nguyễn]

1<=a,b,c<=3 thỏa mãn a+b-c=2.Tìm GTNN của P=2a^2+3b^2-3c^2
mấy cái <= là nhỏ hơn hoặc = nhé
e cần gấp giúp e với

Answer 1

[Nguyễn Anh Khoa]

---

🧐 Phân Tích và Biến Đổi Biểu Thức

Biểu thức cần tìm GTNN là $P = 2a^2 + 3b^2 - 3c^2$.

Điều kiện ràng buộc là $a + b - c = 2$. Từ điều kiện này, ta rút ra $c = a + b - 2$.

Vì mục tiêu là tìm GTNN, ta cố gắng biểu diễn $P$ theo ít biến nhất có thể. Ta sẽ thay $c$ vào biểu thức $P$.

• Bước 1: Thay thế $c$ $$P = 2a^2 + 3b^2 - 3(a + b - 2)^2$$
• Bước 2: Khai triển
  Sử dụng hằng đẳng thức $(x + y - z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz$ hoặc khai triển từ từ: $$(a + b - 2)^2 = [(a + b) - 2]^2 = (a + b)^2 - 4(a + b) + 4$$ $$= a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 4$$
• Bước 3: Thay vào $P$ và rút gọn $$P = 2a^2 + 3b^2 - 3(a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 4)$$ $$P = 2a^2 + 3b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2 + 12a + 12b - 12$$ $$P = (2a^2 - 3a^2) + (3b^2 - 3b^2) - 6ab + 12a + 12b - 12$$ $$P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$$

Biểu thức rút gọn là $\mathbf{P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12}$. Đây là một biểu thức đối xứng giữa $a$ và $b$ (nếu bỏ đi $a^2$). Ta sẽ cố gắng nhóm nó lại.

• Bước 4: Biến đổi thành dạng có thể đánh giá $$P = -a^2 + 12a - 12 - 6b(a - 2)$$ $$P = -a^2 + 12a - 12 - 6ab + 12b$$ $$P = -a(a + 6b - 12) + 12b - 12$$

---

🎯 Đánh Giá Miền Giá Trị (Ràng Buộc)

Các biến $a, b, c$ phải thỏa mãn:

1. $1 \le a \le 3$
2. $1 \le b \le 3$
3. $1 \le c \le 3 \implies 1 \le a + b - 2 \le 3$

Từ điều kiện 3:

• $a + b - 2 \ge 1 \implies a + b \ge 3$
• $a + b - 2 \le 3 \implies a + b \le 5$

Tóm lại, ta cần tìm GTNN của $P$ với $a, b$ thỏa:

• $1 \le a \le 3$
• $1 \le b \le 3$
• $3 \le a + b \le 5$

---

📈 Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN)

Ta có $P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$.

Vì ta cần tìm GTNN, ta cần làm cho các số hạng dương nhỏ nhất và các số hạng âm lớn nhất.

Ta thấy $P$ có chứa số hạng $-a^2$ và $-6ab$ là các số hạng âm (hoặc bằng 0), nên muốn $P$ nhỏ nhất thì $a$ và $b$ cần phải làm cho $-a^2$ và $-6ab$ lớn nhất, tức là $a^2$ và $6ab$ nhỏ nhất.

Tuy nhiên, biểu thức có dạng phức tạp hơn. Ta sẽ dùng phương pháp xét giá trị tại biên hoặc cố định một biến.

Phương pháp Xét tại Biên (Đánh giá trực tiếp)

Ta xét $P$ theo biến $b$:

$$P = (-6a + 12)b - (a^2 - 12a + 12)$$

• Trường hợp 1: Hệ số của $b$ là $-6a + 12 \ge 0$ $$-6a + 12 \ge 0 \implies 12 \ge 6a \implies a \le 2$$Với $1 \le a \le 2$, hệ số của $b$ là không âm. Để $P$ nhỏ nhất, ta cần chọn $b$ nhỏ nhất có thể, tức là $\mathbf{b = 1}$.
  Thay $b = 1$ vào $P$: $$P_1(a) = -a^2 - 6a(1) + 12a + 12(1) - 12$$ $$P_1(a) = -a^2 + 6a$$Ta cần tìm GTNN của $P_1(a) = -a^2 + 6a$ trên đoạn $1 \le a \le 2$.
  Xét hàm bậc hai $f(a) = -a^2 + 6a$. Đỉnh parabol tại $a = -\frac{6}{2(-1)} = 3$.
  Vì $3$ nằm ngoài đoạn $[1, 2]$ và parabol có bề lõm hướng xuống (hệ số $a^2$ là âm), $P_1(a)$ đạt GTNN tại biên trái của đoạn $[1, 2]$, tức là tại $\mathbf{a = 1}$.
• • Với $a = 1$: $P = -(1)^2 + 6(1) = 5$.
    Kiểm tra điều kiện: $a=1, b=1 \implies c = a+b-2 = 1+1-2 = 0$.
    Nhưng điều kiện là $1 \le c \le 3$. $c=0$ không thỏa mãn.
    $P_1(a)$ đạt GTNN tại $\mathbf{a = 2}$:
  • Với $a = 2$: $P = -(2)^2 + 6(2) = -4 + 12 = 8$.
    Kiểm tra điều kiện: $a=2, b=1 \implies c = a+b-2 = 2+1-2 = 1$.
    $1 \le a, b, c \le 3$ thỏa mãn. Giá trị là $\mathbf{P = 8}$.
• Trường hợp 2: Hệ số của $b$ là $-6a + 12 < 0$ $$-6a + 12 < 0 \implies 12 < 6a \implies a > 2$$Với $2 < a \le 3$, hệ số của $b$ là âm. Để $P$ nhỏ nhất, ta cần chọn $b$ lớn nhất có thể, tức là $\mathbf{b = 3}$.
  Thay $b = 3$ vào $P$: $$P_2(a) = -a^2 - 6a(3) + 12a + 12(3) - 12$$ $$P_2(a) = -a^2 - 18a + 12a + 36 - 12$$ $$P_2(a) = -a^2 - 6a + 24$$Ta cần tìm GTNN của $P_2(a) = -a^2 - 6a + 24$ trên đoạn $2 < a \le 3$.
  Đỉnh parabol tại $a = -\frac{-6}{2(-1)} = -3$.
  Vì $-3$ nằm ngoài đoạn $[2, 3]$ và parabol có bề lõm hướng xuống, $P_2(a)$ đạt GTNN tại biên phải của đoạn $[2, 3]$, tức là tại $\mathbf{a = 3}$.
  $P_2(a)$ đạt GTNN tại biên trái của đoạn $(2, 3]$, tức là $\mathbf{a \to 2^+}$ (giá trị sát 2, nhưng lớn hơn 2).
  Kiểm tra thêm điều kiện $a+b \le 5$:
  Xét các điểm biên thỏa $a+b \le 5$:
• • Với $a = 3$: $P = -(3)^2 - 6(3) + 24 = -9 - 18 + 24 = -3$.
    Kiểm tra điều kiện: $a=3, b=3 \implies c = a+b-2 = 3+3-2 = 4$.
    Nhưng điều kiện là $1 \le c \le 3$. $c=4$ không thỏa mãn.
• • Xét tại $a = 2$: $P = -(2)^2 - 6(2) + 24 = -4 - 12 + 24 = 8$. (Đã xét ở trên).
• • Nếu $a=3, b=3$, thì $a+b=6$. Vượt quá $a+b \le 5$.
• • Tại $a=2, b=3$ (thỏa $a+b=5$): $c = 2+3-2 = 3$ (Thỏa $1 \le c \le 3$).
    $P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$
    $P = -(2)^2 - 6(2)(3) + 12(2) + 12(3) - 12$
    $P = -4 - 36 + 24 + 36 - 12$ $$P = 8$$
  • Tại $a=3, b=2$ (thỏa $a+b=5$): $c = 3+2-2 = 3$ (Thỏa $1 \le c \le 3$).
    $P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$
    $P = -(3)^2 - 6(3)(2) + 12(3) + 12(2) - 12$
    $P = -9 - 36 + 36 + 24 - 12$ $$P = 3$$

So sánh các giá trị tìm được

Ta có các giá trị $P$ tiềm năng là:

1. Tại $a=2, b=1, c=1$: $P = 8$
2. Tại $a=3, b=2, c=3$: $P = 3$
3. Tại $a=2, b=3, c=3$: $P = 8$

Giá trị nhỏ nhất trong số các điểm biên thỏa mãn điều kiện là $\mathbf{P = 3}$.

---

✅ Kết Luận Chi Tiết

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2a^2 + 3b^2 - 3c^2$ là 3.

Giá trị này đạt được khi:

$$\mathbf{a=3, b=2, c=3}$$

Kiểm tra lại điều kiện:

• $1 \le 3, 2, 3 \le 3$ (Đúng)
• $a + b - c = 3 + 2 - 3 = 2$ (Đúng)

Kiểm tra lại giá trị $P$:

$$P = 2(3)^2 + 3(2)^2 - 3(3)^2$$ $$P = 2(9) + 3(4) - 3(9)$$ $$P = 18 + 12 - 27 = 3$$

Giá trị nhỏ nhất là 3.

Answer 2

[Nguyễn Anh Khoa]

---

🧐 Phân Tích và Biến Đổi Biểu Thức

Biểu thức cần tìm GTNN là $P = 2a^2 + 3b^2 - 3c^2$.

Điều kiện ràng buộc là $a + b - c = 2$. Từ điều kiện này, ta rút ra $c = a + b - 2$.

Vì mục tiêu là tìm GTNN, ta cố gắng biểu diễn $P$ theo ít biến nhất có thể. Ta sẽ thay $c$ vào biểu thức $P$.

• Bước 1: Thay thế $c$ $$P = 2a^2 + 3b^2 - 3(a + b - 2)^2$$
• Bước 2: Khai triển
  Sử dụng hằng đẳng thức $(x + y - z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz$ hoặc khai triển từ từ: $$(a + b - 2)^2 = [(a + b) - 2]^2 = (a + b)^2 - 4(a + b) + 4$$ $$= a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 4$$
• Bước 3: Thay vào $P$ và rút gọn $$P = 2a^2 + 3b^2 - 3(a^2 + 2ab + b^2 - 4a - 4b + 4)$$ $$P = 2a^2 + 3b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2 + 12a + 12b - 12$$ $$P = (2a^2 - 3a^2) + (3b^2 - 3b^2) - 6ab + 12a + 12b - 12$$ $$P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$$

Biểu thức rút gọn là $\mathbf{P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12}$. Đây là một biểu thức đối xứng giữa $a$ và $b$ (nếu bỏ đi $a^2$). Ta sẽ cố gắng nhóm nó lại.

• Bước 4: Biến đổi thành dạng có thể đánh giá $$P = -a^2 + 12a - 12 - 6b(a - 2)$$ $$P = -a^2 + 12a - 12 - 6ab + 12b$$ $$P = -a(a + 6b - 12) + 12b - 12$$

---

🎯 Đánh Giá Miền Giá Trị (Ràng Buộc)

Các biến $a, b, c$ phải thỏa mãn:

1. $1 \le a \le 3$
2. $1 \le b \le 3$
3. $1 \le c \le 3 \implies 1 \le a + b - 2 \le 3$

Từ điều kiện 3:

• $a + b - 2 \ge 1 \implies a + b \ge 3$
• $a + b - 2 \le 3 \implies a + b \le 5$

Tóm lại, ta cần tìm GTNN của $P$ với $a, b$ thỏa:

• $1 \le a \le 3$
• $1 \le b \le 3$
• $3 \le a + b \le 5$

---

📈 Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất (GTNN)

Ta có $P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$.

Vì ta cần tìm GTNN, ta cần làm cho các số hạng dương nhỏ nhất và các số hạng âm lớn nhất.

Ta thấy $P$ có chứa số hạng $-a^2$ và $-6ab$ là các số hạng âm (hoặc bằng 0), nên muốn $P$ nhỏ nhất thì $a$ và $b$ cần phải làm cho $-a^2$ và $-6ab$ lớn nhất, tức là $a^2$ và $6ab$ nhỏ nhất.

Tuy nhiên, biểu thức có dạng phức tạp hơn. Ta sẽ dùng phương pháp xét giá trị tại biên hoặc cố định một biến.

Phương pháp Xét tại Biên (Đánh giá trực tiếp)

Ta xét $P$ theo biến $b$:

$$P = (-6a + 12)b - (a^2 - 12a + 12)$$

• Trường hợp 1: Hệ số của $b$ là $-6a + 12 \ge 0$ $$-6a + 12 \ge 0 \implies 12 \ge 6a \implies a \le 2$$Với $1 \le a \le 2$, hệ số của $b$ là không âm. Để $P$ nhỏ nhất, ta cần chọn $b$ nhỏ nhất có thể, tức là $\mathbf{b = 1}$.
  Thay $b = 1$ vào $P$: $$P_1(a) = -a^2 - 6a(1) + 12a + 12(1) - 12$$ $$P_1(a) = -a^2 + 6a$$Ta cần tìm GTNN của $P_1(a) = -a^2 + 6a$ trên đoạn $1 \le a \le 2$.
  Xét hàm bậc hai $f(a) = -a^2 + 6a$. Đỉnh parabol tại $a = -\frac{6}{2(-1)} = 3$.
  Vì $3$ nằm ngoài đoạn $[1, 2]$ và parabol có bề lõm hướng xuống (hệ số $a^2$ là âm), $P_1(a)$ đạt GTNN tại biên trái của đoạn $[1, 2]$, tức là tại $\mathbf{a = 1}$.
• • Với $a = 1$: $P = -(1)^2 + 6(1) = 5$.
    Kiểm tra điều kiện: $a=1, b=1 \implies c = a+b-2 = 1+1-2 = 0$.
    Nhưng điều kiện là $1 \le c \le 3$. $c=0$ không thỏa mãn.
    $P_1(a)$ đạt GTNN tại $\mathbf{a = 2}$:
  • Với $a = 2$: $P = -(2)^2 + 6(2) = -4 + 12 = 8$.
    Kiểm tra điều kiện: $a=2, b=1 \implies c = a+b-2 = 2+1-2 = 1$.
    $1 \le a, b, c \le 3$ thỏa mãn. Giá trị là $\mathbf{P = 8}$.
• Trường hợp 2: Hệ số của $b$ là $-6a + 12 < 0$ $$-6a + 12 < 0 \implies 12 < 6a \implies a > 2$$Với $2 < a \le 3$, hệ số của $b$ là âm. Để $P$ nhỏ nhất, ta cần chọn $b$ lớn nhất có thể, tức là $\mathbf{b = 3}$.
  Thay $b = 3$ vào $P$: $$P_2(a) = -a^2 - 6a(3) + 12a + 12(3) - 12$$ $$P_2(a) = -a^2 - 18a + 12a + 36 - 12$$ $$P_2(a) = -a^2 - 6a + 24$$Ta cần tìm GTNN của $P_2(a) = -a^2 - 6a + 24$ trên đoạn $2 < a \le 3$.
  Đỉnh parabol tại $a = -\frac{-6}{2(-1)} = -3$.
  Vì $-3$ nằm ngoài đoạn $[2, 3]$ và parabol có bề lõm hướng xuống, $P_2(a)$ đạt GTNN tại biên phải của đoạn $[2, 3]$, tức là tại $\mathbf{a = 3}$.
  $P_2(a)$ đạt GTNN tại biên trái của đoạn $(2, 3]$, tức là $\mathbf{a \to 2^+}$ (giá trị sát 2, nhưng lớn hơn 2).
  Kiểm tra thêm điều kiện $a+b \le 5$:
  Xét các điểm biên thỏa $a+b \le 5$:
• • Với $a = 3$: $P = -(3)^2 - 6(3) + 24 = -9 - 18 + 24 = -3$.
    Kiểm tra điều kiện: $a=3, b=3 \implies c = a+b-2 = 3+3-2 = 4$.
    Nhưng điều kiện là $1 \le c \le 3$. $c=4$ không thỏa mãn.
• • Xét tại $a = 2$: $P = -(2)^2 - 6(2) + 24 = -4 - 12 + 24 = 8$. (Đã xét ở trên).
• • Nếu $a=3, b=3$, thì $a+b=6$. Vượt quá $a+b \le 5$.
• • Tại $a=2, b=3$ (thỏa $a+b=5$): $c = 2+3-2 = 3$ (Thỏa $1 \le c \le 3$).
    $P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$
    $P = -(2)^2 - 6(2)(3) + 12(2) + 12(3) - 12$
    $P = -4 - 36 + 24 + 36 - 12$ $$P = 8$$
  • Tại $a=3, b=2$ (thỏa $a+b=5$): $c = 3+2-2 = 3$ (Thỏa $1 \le c \le 3$).
    $P = -a^2 - 6ab + 12a + 12b - 12$
    $P = -(3)^2 - 6(3)(2) + 12(3) + 12(2) - 12$
    $P = -9 - 36 + 36 + 24 - 12$ $$P = 3$$

So sánh các giá trị tìm được

Ta có các giá trị $P$ tiềm năng là:

1. Tại $a=2, b=1, c=1$: $P = 8$
2. Tại $a=3, b=2, c=3$: $P = 3$
3. Tại $a=2, b=3, c=3$: $P = 8$

Giá trị nhỏ nhất trong số các điểm biên thỏa mãn điều kiện là $\mathbf{P = 3}$.

---

✅ Kết Luận Chi Tiết

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2a^2 + 3b^2 - 3c^2$ là 3.

Giá trị này đạt được khi:

$$\mathbf{a=3, b=2, c=3}$$

Kiểm tra lại điều kiện:

• $1 \le 3, 2, 3 \le 3$ (Đúng)
• $a + b - c = 3 + 2 - 3 = 2$ (Đúng)

Kiểm tra lại giá trị $P$:

$$P = 2(3)^2 + 3(2)^2 - 3(3)^2$$ $$P = 2(9) + 3(4) - 3(9)$$ $$P = 18 + 12 - 27 = 3$$

Giá trị nhỏ nhất là 3.

Answer 3

[Dũng Nguyễn]

lớp 8 thôi dùng bđt AM-GM hay cauchy cũng được