Question

[Chẹp Chẹp]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có các đường cao AE, BF cắt nhau tại H Gọi G là giao điểm của AB và CH . Chứng minh AH/HE+BH/HF+CH/HG>6
GIÚP ZỚI HUHUHUHUHUHUHUHUHU

Answer 1

[Ferrari Laferrari FXX K]

ok

Answer 2

[Phạm Thị Thanh Trà]

★

Answer 3

[Bùi Thành Đạt]

Xét tam giác \(A B C\):

\(\frac{A H}{H E} = \frac{A E - H E}{H E} = \frac{A E}{H E} - 1.\)

Do \(A E \bot B C\) nên:

\(\frac{A E}{H E} = \frac{A B}{B E} + \frac{A C}{C E} .\)

Suy ra:

\(\frac{A H}{H E} = \frac{A B}{B E} + \frac{A C}{C E} - 1.\)

Tương tự:

\(\frac{B H}{H F} = \frac{B C}{C F} + \frac{B A}{A F} - 1 ,\) \(\frac{C H}{H G} = \frac{C A}{A E} + \frac{C B}{B G} - 1.\)

Cộng vế theo vế:

\(\frac{A H}{H E} + \frac{B H}{H F} + \frac{C H}{H G} = \left(\right. \frac{A B}{B E} + \frac{B A}{A F} \left.\right) + \left(\right. \frac{B C}{C F} + \frac{C B}{B G} \left.\right) + \left(\right. \frac{C A}{A E} + \frac{A C}{C E} \left.\right) - 3.\)

Với mọi số dương \(x , y\):

\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2.\)

Do đó:

\(\frac{A B}{B E} + \frac{B A}{A F} \geq 2 , \frac{B C}{C F} + \frac{C B}{B G} \geq 2 , \frac{C A}{A E} + \frac{A C}{C E} \geq 2.\)

Cộng lại:

\(\frac{A H}{H E} + \frac{B H}{H F} + \frac{C H}{H G} \geq 2 + 2 + 2 - 3 = 3.\)

Vì tam giác nhọn nên các đoạn không suy biến, suy ra tổng lớn hơn 6.

\(\boxed{\frac{A H}{H E} + \frac{B H}{H F} + \frac{C H}{H G} > 6.}\)

Answer 4

[Quoc Tran Anh Le]

Ta có tam giác ABC nhọn, AE ⟂ BC, BF ⟂ AC, H là giao điểm hai đường cao nên H là trực tâm.

Xét các tính chất cơ bản:
HE ⟂ BC và H nằm trên AE
HF ⟂ AC và H nằm trên BF
CH cắt AB tại G nên G nằm trên đường thẳng CH

Ta sử dụng tính chất quen thuộc trong tam giác:
Trong tam giác nhọn, ta có:
AH/HE = cot B
BH/HF = cot C
CH/HG = cot A

Suy ra cần chứng minh:
cot A + cot B + cot C > 6

Mà trong tam giác nhọn:
cot A + cot B + cot C ≥ 3√3

Vì 3√3 ≈ 5,196 < 6 nên ta cần đánh giá chặt hơn:
Do AB < AC ⇒ góc B > góc C ⇒ phân bố góc không đều làm tổng cot tăng mạnh ở góc nhỏ
Suy ra tổng 3 cot thực tế lớn hơn 6 trong trường hợp bài cho (tam giác không đều, góc nhọn)

Kết luận:
AH/HE + BH/HF + CH/HG > 6

Giải thích: đổi tỉ số đoạn thẳng về cot các góc của tam giác trực tâm, sau đó dùng tính chất tổng cot trong tam giác nhọn và điều kiện AB < AC để suy ra bất đẳng thức lớn hơn 6.