Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Qua B kẻ đường thẳng //AC lần lượt cắt AK, AD tại L, G
=>ˆAFE=ˆACBAFE^=ACB^
ˆBFD=ˆBCABFD^=BCA^
=>ˆBFD=ˆAFE=ˆBFKBFD^=AFE^=BFK^
=>FB là phân giác trong góc ˆKFDKFD^ (1)
=>BKBD=FKFDBKBD=FKFD (2)
có FC⊥⊥FB (3)
từ (1,3) =>FC là phân giác ngoài ˆKFDKFD^
=>CKCD=FKFDCKCD=FKFD (4)
từ (2, 4) =>BKBD=CKCDBKBD=CKCD
<=>KBKC=DBDCKBKC=DBDC
<=>BLCA=BGCABLCA=BGCA (vì BL //AC //BG)
<=>BL =BG (5)
có FMBL=AFAB=FNBGFMBL=AFAB=FNBG (6)
từ (5, 6)=>FM =FN (đpcm)
Vì FI vuông góc với AC, BE vuông góc với AC nên FI song song với EQ
suy ra\(\frac{AI}{IE}=\frac{AF}{FB}\)(1)
Vì FJ vuông góc với AD, BC vuông góc với AD nên JI song song với BC
suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{AJ}{JD}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AI}{IE}=\frac{AJ}{JD}\)suy ra IJ song song với ED (a)
VÌ IF vuông góc với AC, FQ vuông góc với AC nên IF song song với FQ
suy ra\(\frac{IE}{EC}=\frac{FH}{HC}\) (3)
VÌ FK vuông góc với BC,AD vuông góc với BC nên FK song song với AD
suy ra \(\frac{KD}{KC}=\frac{KH}{HC}\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{IE}{EC}=\frac{KD}{KC}\)suy ra IK song song với ED (b)
Vì FK song song với AD(cmt) nên\(\frac{AF}{FB}=\frac{KD}{BK}\)(5)
Vì FQ vuông góc với EB,AC vuông góc với EB nên FQ song song với EI
suy ra \(\frac{AF}{FB}=\frac{QE}{BQ}\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{BQ}{QE}=\frac{BK}{KD}\) suy ra QK song song với ED (c)
Từ (a), (b) và (c) suy ra I,J,Q,K thẳng hàng
a) \(\Delta ABE,\Delta ACF\) có \(\widehat{A}\) chung và \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^o\right)\) nên suy ra \(\Delta ABE~\Delta ACF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\Rightarrow AB.AF=AC.AE\).
b) Từ \(AB.AF=AC.AE\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\). Từ đó suy ra \(\Delta AEF~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
c) Xét tam giác AEF có \(C\in AE,B\in AF,K\in EF\) và \(K,B,C\) thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus, ta có \(\dfrac{KF}{KE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\) (1).
Mặt khác, cũng trong tam giác AEF, có \(C\in AE,B\in AF,I\in EF\) và AI, EB, FC đồng quy nên theo định lý Ceva, \(\dfrac{IF}{IE}.\dfrac{CE}{CA}.\dfrac{BA}{BF}=1\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{IF}{IE}\Leftrightarrow KF.IE=KE.IF\)
để bài lỗi hơi nhiều: cho tam giác ABC( AB<AC). Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. EF cắt BC,AD lần lượt tại M;L. Đường thẳng L song song với BC, cắt AB,BE lần lượt tại I;J. CMr: LI=LJ
=> cần CM: \(\frac{IL}{BD}=\frac{LJ}{BD}\)
ta có xét tam giác ABD có IL//BD
=> \(\frac{IL}{BD}=\frac{AL}{AD}\)
xét tam giác HBD có LJ//BD
=> \(\frac{LJ}{BD}=\frac{HL}{HD}\)
để \(\frac{IL}{BD}=\frac{LJ}{BD}\) => \(\frac{AL}{AD}=\frac{HL}{HD}\)
=> \(\frac{LA}{LH}=\frac{DA}{DH}\)
ta có xét tam giác ABC và tam giác HBC
chung cạnh đáy BC
=> \(\frac{DA}{DH}=\frac{S_{ABC}}{S_{HBC}}\) (1)
áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với M;F;L thẳng hàng ta có:
\(\frac{MB}{MD}\cdot\frac{LD}{LA}\cdot\frac{FA}{FB}=1\)
=> \(\frac{LA}{LD}=\frac{MB}{MD}\cdot\frac{FA}{FB}\)
áp dụng định lý Menelaus cho tam giác HBD với M;E;L thẳng hàng ta có:
\(\frac{MB}{MD}\cdot\frac{LD}{LH}\cdot\frac{EH}{EB}=1\)
=> \(\frac{LH}{LD}=\frac{MB}{MD}\cdot\frac{EH}{EB}\)
chia cả hai vế vừa tìm được cho nhau ta có:
\(\frac{LA}{LD}:\frac{LH}{LD}=\left(\frac{MB}{MD}\cdot\frac{FA}{FB}\right):\left(\frac{MB}{MD}\cdot\frac{EH}{EB}\right)\)
\(\frac{LA}{LH}=\frac{FA}{FB}\cdot\frac{EB}{EH}\)
xét tam giác AHC và tam giác HBC có:
chung đáy HC
=> đường cao hạ từ A và B xuống HC bằng diện tích tam giác AHC và tam giác HBC
=> \(\frac{FA}{FB}=\frac{S_{AHC}}{S_{HBC}}\)
xét tam giác ABC và tam giác AHC có:
chung đáy AC
=> đường cao hạ từ H và B xuống AC bằng diện tích tam giác ABC và tam giác AHC
=> \(\Rightarrow\frac{EB}{EH}=\frac{S_{ABC}}{S_{AHC}}\)
thay những giá trị vừa tìm được vào \(\frac{LA}{LH}=\frac{FA}{FB}\cdot\frac{EB}{EH}\) ta có:
\(\frac{LA}{LH}=\frac{S_{AHC}}{S_{HBC}}\cdot\frac{S_{ABC}}{S_{AHC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{HBC}}\) (2)
từ (1)(2)=> \(\frac{LA}{LH}=\frac{DA}{DH}\)
=> \(\frac{LI}{BD}=\frac{LJ}{BD}\)
=> LI=LJ( đpcm)
Đề bài đang thiếu kí hiệu và có mâu thuẫn ở đoạn “EF cắt BC, AD lần lượt tại L” và “đường thẳng qua L song song BC”.
Nếu L thuộc BC thì đường thẳng qua L song song BC chính là đường thẳng BC, khi đó không thể có kết luận LI = LJ như đề nêu.