Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c) Ta sẽ chứng minh với mọi n≥4n≥4 thì 3n>2n+7n3n>2n+7n. (*)
Với n = 4.
3n=34=81;2n+7n=24+4.7=443n=34=81;2n+7n=24+4.7=44.
Suy ra (*) đúng với n = 4.
Giả sử (*) đúng với n = k.
Nghĩa là: 3k>2k+7k3k>2k+7k.
Ta sẽ chứng minh nó đúng với n=k+1n=k+1.
Nghĩa là: 3k+1>2k+1+7(k+1)3k+1>2k+1+7(k+1).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
3k+1=3.3k>3(2k+7
Gọi 2 số cần tìm là a và b ( \(a,b\inℕ^∗\))
Theo bài, ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{4}{7}\)\(\Rightarrow\frac{a}{4}=\frac{b}{7}\)
Đặt \(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=k\left(k\inℕ^∗\right)\)\(\Rightarrow a=4k\); \(b=7k\)
Nếu lấy số thứ nhất chia cho 4, số thứ 2 chia cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai 2 đơn vị
\(\Rightarrow\)Ta có phương trình : \(\frac{7k}{5}-\frac{4k}{4}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{7k}{5}-k=2\)\(\Leftrightarrow\frac{7k}{5}-\frac{5k}{5}=\frac{10}{2}\)
\(\Leftrightarrow7k-5k=10\)\(\Leftrightarrow2k=10\)\(\Leftrightarrow k=5\)( thoả mãn ĐK )
\(\Rightarrow a=5.4=20\)và \(b=5.7=35\)
Vậy số bé là 20 và số lớn là 35
Ta có: $f(n) = (n + 4)^4 - n^4$Phân tích thành nhân tử:$f(n) = \left[(n + 4)^2 - n^2\right]\left[(n + 4)^2 + n^2\right]$$f(n) = (n + 4 - n)(n + 4 + n)(n^2 + 8n + 16 + n^2)$$f(n) = 4(2n + 4)(2n^2 + 8n + 16)$$f(n) = 4 \cdot 2(n + 2) \cdot 2(n^2 + 4n + 8)$$f(n) = 16(n + 2)(n^2 + 4n + 8)$a)Do $f(n) = 16(n + 2)(n^2 + 4n + 8)$ có thừa số $16$ nên $f(n) \vdots 16$ với mọi $n \in \mathbb{Z}$.b)Vì $f(n) = 16(n + 2)(n^2 + 4n + 8)$ chia hết cho $3$, mà $16$ không chia hết cho $3$ nên:$$(n + 2)(n^2 + 4n + 8) \vdots 3$$Xét $n^2 + 4n + 8 = (n^2 + 4n + 4) + 4 = (n + 2)^2 + 4$.Nếu $(n + 2) \vdots 3 \implies (n + 2)(n^2 + 4n + 8) \vdots 3$ (đúng).Nếu $(n + 2)$ không chia hết cho $3 \implies (n + 2)^2$ chia $3$ dư $1 \implies (n + 2)^2 + 4$ chia $3$ dư $2$ (không chia hết cho $3$).Vậy điều kiện để $f(n) \vdots 3$ là $(n + 2) \vdots 3$.$\implies n + 2 = 3k \implies n = 3k - 2$ ($k \in \mathbb{N}^*$ vì $n$ là số nguyên dương).c)Ta có $24^2 = 576 = 16 \cdot 36$.Để $f(n) \vdots 24^2 \iff 16(n + 2)(n^2 + 4n + 8) \vdots (16 \cdot 36)$$\iff (n + 2)(n^2 + 4n + 8) \vdots 36$Đặt $a = n + 2$. Ta có $n^2 + 4n + 8 = a^2 + 4$.Cần tìm $a \ge 2$ ($a \in \mathbb{N}$) sao cho $a(a^2 + 4) \vdots 36$.Vì $36 = 4 \cdot 9$:Chia hết cho 4: $a(a^2 + 4) \vdots 4$.Nếu $a$ chẵn $\implies a = 2m \implies 2m(4m^2 + 4) = 8m(m^2 + 1) \vdots 4$ (luôn đúng).Nếu $a$ lẻ $\implies a^2 + 4$ lẻ $\implies a(a^2 + 4)$ lẻ (không chia hết cho $4$).Do đó $a$ bắt buộc phải là số chẵn.Chia hết cho 9: $a(a^2 + 4) \vdots 9$.Vì $a^2 + 4$ không chia hết cho $3$ (do $a^2$ chia $3$ dư $0$ hoặc $1$ nên $a^2 + 4$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$), nên $a^2 + 4$ không chứa thừa số nguyên tố $3$.Suy ra $a$ bắt buộc phải chia hết cho $9$.Kết hợp cả 2 điều kiện: $a$ chia hết cho cả $2$ và $9 \implies a \vdots 18$.$\implies n + 2 = 18k \implies n = 18k - 2$ ($k \in \mathbb{N}^*$ để $n \ge 0$).
cái dell gì đang diễn ra vậy
\(f(n)=[(n+4)^{2}-n^{2}][(n+4)^{2}+n^{2}]=(n+4-n)(n+4+n)(n^{2}+8n+16+n^{2})=4(2n+4)(2n^{2}+8n+16)=8(n+2)(n^{2}+4n+8)\)
Hoặc khai triển trực tiếp:
\(f(n)=(n+4)^{4}-n^{4}=32n^{3}+96n^{2}+256n+256=16(2n^{3}+6n^{2}+16n+16)\)a) Chứng minh \(f(n)\) chia hết cho 16 với mọi \(n\)Ta có: \(f(n) = 16(2n^3 + 6n^2 + 16n + 16)\).
Vì \(2n^3 + 6n^2 + 16n + 16\) là một số nguyên với mọi số nguyên \(n\), nên \(f(n)\) luôn chia hết cho \(16\) với mọi \(n\).b) Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(f(n)\) chia hết cho 3Ta xét số dư của \(n\) khi chia cho 3:
- Nếu \(n \equiv 0 \pmod 3\): thì \(n+4 \equiv 1 \pmod 3\), do đó \((n+4)^4 \equiv 1 \pmod 3\) và \(n^4 \equiv 0 \pmod 3\), suy ra \(f(n) \equiv 1 - 0 = 1 \pmod 3\) (không chia hết cho 3).
- Nếu \(n \equiv 1 \pmod 3\): thì \(n+4 \equiv 5 \equiv 2 \pmod 3\), do đó \((n+4)^4 \equiv 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod 3\) và \(n^4 \equiv 1^4 = 1 \pmod 3\), suy ra \(f(n) \equiv 1 - 1 = 0 \pmod 3\) (chia hết cho 3).
- Nếu \(n \equiv 2 \pmod 3\): thì \(n+4 \equiv 6 \equiv 0 \pmod 3\), do đó \((n+4)^4 \equiv 0 \pmod 3\) và \(n^4 \equiv 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod 3\), suy ra \(f(n) \equiv 0 - 1 = -1 \equiv 2 \pmod 3\) (không chia hết cho 3).
Vậy các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn là \(n = 3k + 1\) (với \(k\) là số nguyên không âm, tức \(n \in \{1, 4, 7, 10, \dots\}\)).c) Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(f(n)\) chia hết cho 24Ta có \(24 = 3 \times 8\), và \((3, 8) = 1\). Để \(f(n) \vdots 24\) thì \(f(n) \vdots 3\) và \(f(n) \vdots 8\).- Từ câu b, \(f(n) \vdots 3 \iff n = 3k + 1\) (\(k \in \mathbb{N}\)).
- Xét điều kiện chia hết cho 8: \(f(n) = 8(n+2)(n^2 + 4n + 8)\), biểu thức này luôn có thừa số 8 nên chia hết cho 8 với mọi số tự nhiên \(n\).
Vậy số tự nhiên \(n\) cần tìm là \(n = 3k + 1\) với \(k \in \mathbb{N}\) (\(n \in \{1, 4, 7, 10, \dots\}\)).Do đó, điều kiện duy nhất để \(f(n) \vdots 24\) là \(f(n) \vdots 3\).
ta có: \(f\left(n\right)=\left(n+4\right)^4-n^4=16\left(n+2\right)\left(n^2+4n+8\right)\)
a) => f(n) ⋮16
vì (16,3)=1
=> \(\left(n+2\right)\left\lbrack\left(n+2\right)^2+4\right\rbrack\) ⋮3
TH1: nếu (n+2)⋮3
=> n+2=3k=>n=3k-2(k là một số nguyên dương)
TH2: nếu n+2 ko chia hết cho 3
ta có: \(\left(n+2\right)^2\equiv1\) (mod 3)
=> \(\left(n+2\right)^2+4\equiv1+4=5\equiv2\) (mod 3)
vì (n+2) và \(\left(n+2\right)^2+4\) đều ko chia hết cho 3 vậy nên tích của chúng cx ko chia hết cho 3
vậy n=3k-2
c) ta có: \(24^2=576=16\cdot36\)
=> \(\left(n+2\right)\left\lbrack\left(n+2\right)^2+4\right\rbrack\) ⋮36
vì 36=4 . 9 và (4,9)=1 nên biểu thức trên phải chia hết cho 4 và 9
ĐK1: chia hết cho 9
khi (n+2)⋮3
đặt n+2=3k
=> \(3k\left\lbrack\left(3k\right)^2+4\right\rbrack=27k^3+12k\)
để \(27k^3+12k\vdots9\Rightarrow12k\vdots9\Rightarrow4k\vdots3\Rightarrow k\vdots3\)
đặt k=3m
=> n+2=3(3m)=9m=>n=9m-2
ĐK2: chia hết cho 4
nếu n là số lẻ => n+2 và \(\left(n+2\right)^2+4\) là số lẻ
=> tích hai số cx là số lẻ nên ko chia hết cho 4
nếu n là số chẵn
đặt n+2=2x
=> \(2x\left\lbrack\left(2x\right)^2+4\right\rbrack=8x\left(x^2+1\right)\vdots4\)
vậy n là số chẵn
mà ta có n=9m-2=> 9m phải là số chẵn=> m là số chẵn
đặt m=2p=> n=18p-2(p là số tự nhiên)