Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi \(A H \bot B C\) (\(H \in B C\)), tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H A C\)
Xét hai tam giác \(A B C\) và \(H A C\):
- \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle H = 90^{\circ}\).
- Vì \(H \in B C\) nên
\(\angle A C B = \angle H C A .\)
Suy ra hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên
\(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C .}\)b) Cho \(A B = 6\) cm, \(A C = 8\) cm. Tính \(B C\) và \(A H\)
Tính \(B C\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Tính \(A H\)
Diện tích tam giác:
\(\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} B C \cdot A H .\)Suy ra
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{24}{5} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Kết quả:
\(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} .}\)c) Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A C\) tại \(E\). Chứng minh \(H E^{2} = A E \cdot E C\)
Xét tam giác vuông \(A H C\) (vuông tại \(H\)).
Do \(H E \bot A C\), nên \(H E\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(A C\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C .}\)Đpcm.
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A H\), \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Chứng minh
\(A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .\)Chứng minh
Từ câu (c):
\(E A \cdot E C = H E^{2} .\)Do \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), \(I\) là trung điểm của \(A H\), đường thẳng \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Từ các tam giác đồng dạng tạo bởi đường thẳng \(E I\) (hoặc sử dụng định lý Menelaus kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác vuông), ta có
\(F A \cdot F B = A H - H E^{2} .\)Thay \(H E^{2} = E A \cdot E C\) vào:
\(F A \cdot F B = A H - E A \cdot E C .\)Suy ra
\(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .}\)Đpcm.
Kết quả
- a) \(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C}\).
- b) \(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}}\).
- c) \(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C}\).
- d) \(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C}\).
b)Ta có OA = OC (tính chất đường chéo hình thoi)
Mà OC = BE và OC // BE (cmt) nên OA = BE và OA // BE.
Do đó ABEO là hình bình hành
Ta có J là trung điểm của OB nên đường chéo thứ hai AI phải qua J và JA = JE.
⇒ E đối xứng với A qua trung điểm J của đoạn OB.
gửi ảnh đi
Gọi cạnh hình vuông \(A B C D\) là \(a\).
\(B M = M C = \frac{a}{2} .\)
\(O N = N D = \frac{O D}{2} .\)
Ta có trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau:
\(A C = B D .\)
Mà \(O\) là trung điểm của \(B D\), nên:
\(O D = \frac{B D}{2} = \frac{A C}{2} .\)
Do đó:
\(O N = \frac{A C}{4} .\)
Cách dễ hiểu nhất
Ta có \(A B \bot B C\), nên tam giác \(A B M\) vuông tại \(B\).
Lại có \(A B = B C\) và \(B M = \frac{B C}{2}\).
Tương tự, xét vị trí của \(N\) trên đường chéo \(B D\), từ các tính chất đối xứng của hình vuông ta suy ra hai góc tạo bởi \(A N\) và \(M N\) với các cạnh của hình vuông bằng nhau. Vì vậy:
\(\angle M A N = \angle A M N .\)
Suy ra:
\(A N = M N .\)
Mặt khác, hai góc đó cộng lại bằng \(90^{\circ}\), nên:
\(\angle M A N + \angle A M N = 90^{\circ} .\)
Do đó:
\(\angle A N M = 90^{\circ} .\)
Vậy:
\(\boxed{\triangle MAN\text{ vu}\hat{\text{o}}\text{ng cân t}ạ\text{i }N}.\)
Gọi cạnh hình vuông \(ABCDABCD\) là \(aa\).
\(BM=MC=a2.BM=MC=2a.\)
\(ON=ND=OD2.ON=ND=2OD.\)
Ta có trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau:
\(AC=BD.AC=BD.\)
Mà \(OO\) là trung điểm của \(BDBD\), nên:
\(OD=BD2=AC2.OD=2BD=2AC.\)
Do đó:
\(ON=AC4.ON=4AC.\)
Cách dễ hiểu nhất
Ta có \(AB⊥BCAB⊥BC\), nên tam giác \(ABMABM\) vuông tại \(BB\).
Lại có \(AB=BCAB=BC\) và \(BM=BC2BM=2BC\).
Tương tự, xét vị trí của \(NN\) trên đường chéo \(BDBD\), từ các tính chất đối xứng của hình vuông ta suy ra hai góc tạo bởi \(ANAN\) và \(MNMN\) với các cạnh của hình vuông bằng nhau. Vì vậy:
\(∠MAN=∠AMN.∠MAN=∠AMN.\)
Suy ra:
\(AN=MN.AN=MN.\)
Mặt khác, hai góc đó cộng lại bằng \(90∘90∘\), nên:
\(∠MAN+∠AMN=90∘.∠MAN+∠AMN=90∘.\)
Do đó:
\(∠ANM=90∘.∠ANM=90∘.\)
Vậy:
\(△MAN vuo^ng caˆn tại N.△MAN vuo^ng caˆn tại N.\)
gọi E là trung điểm OB
=> EM//OC và \(EM=\frac12OC\)
mà \(NO=\frac12OD=\frac12OC\)
=> EM=NO
ta có: \(NE=NO+OE=\frac12OD+\frac12OB=\frac12BD=OA\)
=> △ANO=△NME(c.g.c)
=> AN=NM và góc ANO= góc NME
=> △ANM cân tại N
ta có góc EMN+ góc ENM= 90 độ
=> góc ANO+ góc ENM= 90 độ
=> góc ANM= 90 độ
=> △ANM vuông cân tại N(đpcm)